Obtenha os planos tangentes ao gráfico f(x, y) no ponto dado: f(x, y) = x * y * raiz(9 + x^2 * y) no ponto em que (x0, y0) = (4, 1)

Passo 1

Beleza! Vamos descobrir os planos tangentes ao gráfico da função no ponto . Isso envolve entender como a função se comporta em torno desse ponto e usar derivadas parciais para achar a inclinação nas direções de x e y. Com isso, conseguimos montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto dado, ou seja, encontrar . Substituindo e na função:
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e a y. Essas derivadas vão nos mostrar como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x, que chamaremos de :
Em seguida, a derivada parcial em relação a y, :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Primeiro, :
Agora, :

Passo 5

Com os valores de , e , podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando a equação:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto é:

Exercícios relacionados