Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Passo 1
Beleza! Vamos descobrir os planos tangentes ao gráfico da função
no ponto
. Isso envolve entender como a função se comporta em torno desse ponto e usar derivadas parciais para achar a inclinação nas direções de
e
. Com isso, conseguimos montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto dado, ou seja, encontrar
. Substituindo
e
na função:
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e a
. Essas derivadas vão nos mostrar como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
, que chamaremos de
:
Em seguida, a derivada parcial em relação a
,
:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 5
Com os valores de
,
e
, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando a equação:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calculai o produto vetorial
entre os vetores
e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
d) e
.
d)
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que
Provai as relações abaixo.
a) .
a)
Obtenha os planos tangentes ao gráfico
no ponto dado:
no ponto em que