Obtenha os planos tangentes ao gráfico no ponto dado: no ponto em que

Passo 1

Beleza! Vamos descobrir os planos tangentes ao gráfico da função no ponto . Isso envolve entender como a função se comporta em torno desse ponto e usar derivadas parciais para achar a inclinação nas direções de e . Com isso, conseguimos montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto dado, ou seja, encontrar . Substituindo e na função:
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e a . Essas derivadas vão nos mostrar como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis.
Primeiro, a derivada parcial em relação a , que chamaremos de :
Em seguida, a derivada parcial em relação a , :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Primeiro, :
Agora, :

Passo 5

Com os valores de , e , podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando a equação:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é:

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Calculai o produto vetorial entre os vetores e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
d) e .
Obtenha os planos tangentes ao gráfico no ponto dado: no ponto em que
Provai as relações abaixo.
a) .
Obtenha os planos tangentes ao gráfico no ponto dado: no ponto em que