(a) Obtenha o ponto de corte com o eixo da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta intersecta 00 conjunto de todos os pontos do espaço que satisfazem a equação

Passo 1

Vamos resolver o exercício que tem duas partes. Na primeira, precisamos encontrar onde a reta intercepta o eixo no plano bidimensional. Na segunda parte, vamos descobrir onde essa reta corta o conjunto de pontos que satisfazem a equação no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o ponto de corte com o eixo
Primeiro, vamos entender a equação vetorial dada:
Aqui, e são vetores unitários nos eixos e , respectivamente. A variável é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Para encontrar o ponto onde a reta corta o eixo , sabemos que no eixo , a coordenada é zero.
Então, vamos igualar a componente a zero:
Resolvendo para :
Agora, substituímos esse valor de na componente :
Portanto, o ponto de corte com o eixo tem coordenadas .

Passo 3

Parte (b): Encontrar as coordenadas do ponto de interseção com o plano
Primeiro, notamos que a equação vetorial dada está no plano bidimensional (apenas e ), então vamos considerar que ao longo da reta. Assim, podemos estender a reta para o espaço tridimensional adicionando a coordenada como zero:
Agora, para encontrar o ponto de interseção com o conjunto de pontos que satisfazem , substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
Substituindo , e :
Agora, substituímos nas coordenadas da reta:
Portanto, o ponto de interseção com o conjunto tem coordenadas .

Resposta

(a) O ponto de corte com o eixo é .
(b) As coordenadas do ponto de interseção com o conjunto são .

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