(a) Obtenha o ponto de corte com o eixo
da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta intersecta 00 conjunto de todos os pontos do espaço que satisfazem a equação
Passo 1
Vamos resolver o exercício que tem duas partes. Na primeira, precisamos encontrar onde a reta intercepta o eixo
no plano bidimensional. Na segunda parte, vamos descobrir onde essa reta corta o conjunto de pontos que satisfazem a equação
no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Parte (a): Encontrar o ponto de corte com o eixo
Primeiro, vamos entender a equação vetorial dada:
Aqui,
e
são vetores unitários nos eixos
e
, respectivamente. A variável
é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Para encontrar o ponto onde a reta corta o eixo
, sabemos que no eixo
, a coordenada
é zero.
Então, vamos igualar a componente
a zero:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos esse valor de
na componente
:
Portanto, o ponto de corte com o eixo
tem coordenadas
.
Passo 3
Parte (b): Encontrar as coordenadas do ponto de interseção com o plano
Primeiro, notamos que a equação vetorial dada está no plano bidimensional (apenas
e
), então vamos considerar que
ao longo da reta. Assim, podemos estender a reta para o espaço tridimensional adicionando a coordenada
como zero:
Agora, para encontrar o ponto de interseção com o conjunto de pontos que satisfazem
, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
Substituindo
,
e
:
Agora, substituímos
nas coordenadas da reta:
Portanto, o ponto de interseção com o conjunto
tem coordenadas
.
Resposta
(a) O ponto de corte com o eixo
é
.
(b) As coordenadas do ponto de interseção com o conjunto
são
.
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12.
12.
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.
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