(a) Obtenha o ponto de corte com o eixo y da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
r = (3 + 2 t)i + 5 t j
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta intersecta 00 conjunto de todos os pontos do espaço que satisfazem a equação
3 x - y - z = 2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que tem duas partes. Na primeira, precisamos encontrar onde a reta intercepta o eixo y no plano bidimensional. Na segunda parte, vamos descobrir onde essa reta corta o conjunto de pontos que satisfazem a equação no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o ponto de corte com o eixo y
Primeiro, vamos entender a equação vetorial dada:
Aqui, e são vetores unitários nos eixos x e y, respectivamente. A variável t é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Para encontrar o ponto onde a reta corta o eixo y, sabemos que no eixo y, a coordenada x é zero.
Então, vamos igualar a componente x a zero:
Resolvendo para t:
Agora, substituímos esse valor de t na componente y:
Portanto, o ponto de corte com o eixo y tem coordenadas .

Passo 3

Parte (b): Encontrar as coordenadas do ponto de interseção com o plano
Primeiro, notamos que a equação vetorial dada está no plano bidimensional (apenas x e y), então vamos considerar que ao longo da reta. Assim, podemos estender a reta para o espaço tridimensional adicionando a coordenada z como zero:
Agora, para encontrar o ponto de interseção com o conjunto de pontos que satisfazem , substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
Substituindo , e :
Agora, substituímos nas coordenadas da reta:
Portanto, o ponto de interseção com o conjunto tem coordenadas .

Resposta

(a) O ponto de corte com o eixo y é .
(b) As coordenadas do ponto de interseção com o conjunto são .

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