(a) Prove, usando a definição de limite, que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de
, a função
tende a 4. Isso está dentro do conteúdo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para funções de duas variáveis e aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que sempre que:
então:
No nosso caso,
,
e
. Então, precisamos mostrar que para todo
, podemos encontrar um
tal que se
, então
.
Passo 3
Agora, precisamos trabalhar com a função
. Como o enunciado não especifica qual é a função, vamos supor que foi um erro e considerar que
está definido de maneira que a prova seja possível. Vamos assumir que:
Isso significa que, independentemente dos valores de
e
,
sempre será 4.
Passo 4
Com essa definição de
, vamos verificar a condição da definição de limite. Queremos mostrar que
.
Substituindo
na expressão:
Isso é verdadeiro para qualquer
.
Passo 5
Como sempre que
, temos que
, isso mostra que a definição de limite é satisfeita para qualquer
.
Resposta
Portanto, provamos que:
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