(a) Prove, usando a definição de limite, que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de , a função tende a 4. Isso está dentro do conteúdo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para funções de duas variáveis e aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que sempre que:
então:
No nosso caso, , e . Então, precisamos mostrar que para todo , podemos encontrar um tal que se , então .

Passo 3

Agora, precisamos trabalhar com a função . Como o enunciado não especifica qual é a função, vamos supor que foi um erro e considerar que está definido de maneira que a prova seja possível. Vamos assumir que:
Isso significa que, independentemente dos valores de e , sempre será 4.

Passo 4

Com essa definição de , vamos verificar a condição da definição de limite. Queremos mostrar que .
Substituindo na expressão:
Isso é verdadeiro para qualquer .

Passo 5

Como sempre que , temos que , isso mostra que a definição de limite é satisfeita para qualquer .

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

(a) Obtenha o ponto de corte com o eixo da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta intersecta 00 conjunto de todos os pontos do espaço que satisfazem a equação
(a) Qual deverá ser a variação na resistência para que a energia consumida nesse resistor fique praticamente inalterada quando a voltagem sofrer um decréscimo de 0,2 volts?
(a)