(a) Prove, usando a definição de limite, que lim (x, y) (0,0) f(x, y)=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de , a função tende a 4. Isso está dentro do conteúdo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para funções de duas variáveis e aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) (a, b) f(x, y) = L
significa que para todo 0 < raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 < de, existe um |f(x, y) - L| < epsilon tal que sempre que:
então:
No nosso caso, , e . Então, precisamos mostrar que para todo , podemos encontrar um tal que se , então .

Passo 3

Agora, precisamos trabalhar com a função f(x, y) = 4 . Como o enunciado não especifica qual é a função, vamos supor que foi um erro e considerar que está definido de maneira que a prova seja possível. Vamos assumir que:
Isso significa que, independentemente dos valores de e , sempre será 4.

Passo 4

Com essa definição de |4 - 4| = 0 < epsilon , vamos verificar a condição da definição de limite. Queremos mostrar que .
Substituindo na expressão:
Isso é verdadeiro para qualquer .

Passo 5

Como sempre que , temos que , isso mostra que a definição de limite é satisfeita para qualquer .

Resposta

Portanto, provamos que:
lim(x, y) (0,0) f(x, y) = 4

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