(a) z = ln(raiz(x^2 * e^(2 * y) + x^2 * e^(-2 * y)))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a expressão matemática:
Aqui, trabalhamos com logaritmos naturais (ln) e expressões exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas regras de logaritmos e propriedades das exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada. Observa que tanto quanto têm o termo em comum. Então, podemos fatorar esse termo:

Passo 3

Agora, vamos tirar a raiz quadrada. A raiz de é , mas como estamos lidando com logaritmos, vamos assumir que é positivo para simplificar:

Passo 4

Substituímos de volta na expressão original de :
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que :

Passo 5

A próxima etapa é simplificar o logaritmo da raiz. Sabemos que :

Passo 6

Agora, podemos deixar a expressão assim, já que está simplificada. Porém, se quisermos, podemos expressar em termos de funções hiperbólicas:
Sabemos que , então:

Resposta

Após simplificar, temos:

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