Para os vetores u e vabaixo, encontrai as projeções u_v e v_u, assim como o ângulo theta entre os vetores.
b) u = <-5, 3, 1> e v = <-4, 6, 2>.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre vetores! Aqui, a gente precisa encontrar as projeções dos vetores u sobre v e de v sobre u, além de calcular o ângulo theta entre eles. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra vetorial, como produto interno (ou produto escalar), normas dos vetores e a fórmula da projeção. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a projeção de um vetor a sobre um vetor b é dada por:
O produto interno é calculado como a soma das multiplicações das componentes correspondentes dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular u . v:

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de v:

Passo 5

Com isso, podemos encontrar a projeção de u sobre v:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma de u:

Passo 7

Com o produto interno e a norma de u, podemos encontrar a projeção de v sobre u:

Passo 8

Para encontrar o ângulo theta entre os vetores, usamos a fórmula:
Já calculamos , e .
Então:
Para encontrar theta, tiramos o arco cosseno:

Resposta

As projeções são:
E o ângulo entre os vetores é:

Exercícios relacionados