Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, a gente tem a função e precisa achar os pontos onde ela alcança máximos ou mínimos. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente da derivada de funções. Vamos precisar calcular a derivada dessa função para encontrar onde ela tem inclinação zero, que são os candidatos a máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, como a função está subindo ou descendo. Para encontrar a derivada, aplicamos as regras de derivação termo a termo:

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde pode haver máximo ou mínimo), igualamos a derivada a zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:

Passo 5

Para saber se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada, que nos diz a concavidade da função:
Agora, avaliamos a segunda derivada em cada ponto crítico:
  • Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.
  • Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo.

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo os valores de na função original:
  • Para :
Então, o ponto de mínimo é .
  • Para :
Então, o ponto de máximo é ou aproximadamente .

Resposta

A função possui um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

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