(Ufsc) Seja
um polinômio de grau 4 dado por
. Com essa informação, assinale
proposição(ões) CORRETA(S).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um polinômio de grau 4, que é dado por
. Então, estamos lidando com polinômios, especificamente um de quarto grau. Para resolver esse tipo de questão, vamos precisar entender conceitos como grau do polinômio, raízes e multiplicidade das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o grau de um polinômio. O grau é o maior expoente que aparece na expressão. No caso de
, o grau é 4 porque o expoente de
é 4.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes do polinômio. As raízes são os valores de
que fazem
. Então, resolvemos:
Para que isso seja zero,
precisa ser zero. Então:
Portanto, a única raiz é
.
Passo 4
Mas atenção! A raiz
aparece quatro vezes devido ao expoente 4. Isso significa que a raiz tem multiplicidade 4. A multiplicidade indica quantas vezes a raiz aparece na fatoração do polinômio.
Passo 5
Além disso, vamos falar sobre o comportamento do gráfico desse polinômio perto da raiz. Como a multiplicidade é par (4), o gráfico toca o eixo
no ponto
e não passa por ele. Se a multiplicidade fosse ímpar, o gráfico cruzaria o eixo.
Passo 6
Outra coisa interessante é a derivada desse polinômio. A derivada nos dá a inclinação da tangente ao gráfico em cada ponto. Calculando a primeira derivada de
:
Perceba que a derivada também tem a raiz
, mas com multiplicidade 3, que é ímpar. Isso significa que na derivada, o gráfico cruza o eixo
nesse ponto.
Passo 7
Resumindo o que descobrimos:
- O polinômio
tem grau 4. - Possui uma única raiz real em
, com multiplicidade 4. - O gráfico toca o eixo
em e não cruza. - A primeira derivada
tem a mesma raiz com multiplicidade 3, indicando que ela cruza o eixo nesse ponto.
Resposta
Assim, as proposições corretas sobre o polinômio
são:
- O polinômio é de grau 4.
- Possui uma única raiz real em
com multiplicidade 4. - O gráfico do polinômio toca, mas não cruza, o eixo
em . - A derivada do polinômio também possui
como raiz, com multiplicidade 3.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Suponha que
tenha
raízes reais
. Considere que o polinômio
com coeficientes reais, tem
raízes reais
de modo que
e
. Nessas condições, podemos afirmar que o polinômio soma
tem uma raiz nula.
Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo: