(Ufsc) Seja um polinômio de grau 4 dado por . Com essa informação, assinale proposição(ões) CORRETA(S).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um polinômio de grau 4, que é dado por . Então, estamos lidando com polinômios, especificamente um de quarto grau. Para resolver esse tipo de questão, vamos precisar entender conceitos como grau do polinômio, raízes e multiplicidade das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o grau de um polinômio. O grau é o maior expoente que aparece na expressão. No caso de , o grau é 4 porque o expoente de é 4.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes do polinômio. As raízes são os valores de que fazem . Então, resolvemos:
Para que isso seja zero, precisa ser zero. Então:
Portanto, a única raiz é .

Passo 4

Mas atenção! A raiz aparece quatro vezes devido ao expoente 4. Isso significa que a raiz tem multiplicidade 4. A multiplicidade indica quantas vezes a raiz aparece na fatoração do polinômio.

Passo 5

Além disso, vamos falar sobre o comportamento do gráfico desse polinômio perto da raiz. Como a multiplicidade é par (4), o gráfico toca o eixo no ponto e não passa por ele. Se a multiplicidade fosse ímpar, o gráfico cruzaria o eixo.

Passo 6

Outra coisa interessante é a derivada desse polinômio. A derivada nos dá a inclinação da tangente ao gráfico em cada ponto. Calculando a primeira derivada de :
Perceba que a derivada também tem a raiz , mas com multiplicidade 3, que é ímpar. Isso significa que na derivada, o gráfico cruza o eixo nesse ponto.

Passo 7

Resumindo o que descobrimos:
  • O polinômio tem grau 4.
  • Possui uma única raiz real em , com multiplicidade 4.
  • O gráfico toca o eixo em e não cruza.
  • A primeira derivada tem a mesma raiz com multiplicidade 3, indicando que ela cruza o eixo nesse ponto.

Resposta

Assim, as proposições corretas sobre o polinômio são:
  • O polinômio é de grau 4.
  • Possui uma única raiz real em com multiplicidade 4.
  • O gráfico do polinômio toca, mas não cruza, o eixo em .
  • A derivada do polinômio também possui como raiz, com multiplicidade 3.

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
Suponha que tenha raízes reais . Considere que o polinômio com coeficientes reais, tem raízes reais de modo que e . Nessas condições, podemos afirmar que o polinômio soma tem uma raiz nula.
Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo: