Se a é o primeiro termo de uma Progressão Geométrica infinita de razão , então a soma dos termos dessa PG é um número racional.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos uma Progressão Geométrica (PG) infinita onde o primeiro termo é e a razão é . Queremos descobrir se a soma dos termos dessa PG é um número racional. Para resolver isso, precisamos entender como calcular a soma de uma PG infinita e verificar se o resultado é racional.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é uma Progressão Geométrica (PG). Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é .
Passo 3
Quando falamos de uma PG infinita, estamos considerando um número infinito de termos. Para que essa soma exista e seja finita, a razão precisa ter um valor absoluto menor que 1. Aqui, satisfaz essa condição porque .
Passo 4
A fórmula para calcular a soma de uma PG infinita é:
Onde:
é o primeiro termo,
é a razão da PG.
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula aos nossos valores. Sabemos que é o primeiro termo e . Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 6
Agora, para simplificar , lembramos que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso. Então:
Passo 7
Agora, analisamos o resultado . Sabemos que se for um número racional, então também será racional (já que multiplicar um número racional por outro número racional resulta em um número racional). Dividindo um número racional por 3 (que também é racional) o resultado será um número racional.
Resposta
A soma dos termos dessa PG infinita é , que é um número racional.