Suponha que tenha raízes reais . Considere que o polinômio com coeficientes reais, tem raízes reais de modo que e . Nessas condições, podemos afirmar que o polinômio soma tem uma raiz nula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos dois polinômios, e , cada um com raízes reais. As raízes de são quase iguais às de , exceto que a última raiz de é o inverso da última raiz de . Nosso objetivo é mostrar que a soma desses dois polinômios, , tem uma raiz em . Para isso, vamos utilizar propriedades dos polinômios e suas raízes.

Passo 2

Vamos começar escrevendo os polinômios e em termos de suas raízes. Sabemos que se um polinômio tem raízes , ele pode ser escrito como:
onde é um coeficiente constante. Da mesma forma, para :
Como para e , podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor dos polinômios e em , ou seja, e . Isso nos ajudará a encontrar .
Para :
Para :

Passo 4

Observe que os produtos e são semelhantes, diferindo apenas nos sinais devido aos termos e . Podemos relacionar esses termos da seguinte forma:
Se assumirmos que (o que geralmente é o caso para polinômios construídos de maneira semelhante), então:

Passo 5

Com isso, ao somarmos e , temos:
Isso significa que o valor da soma dos polinômios em é zero.

Resposta

Portanto, o polinômio tem uma raiz em .

Exercícios relacionados

(Ufsc) Seja um polinômio de grau 4 dado por . Com essa informação, assinale proposição(ões) CORRETA(S).
Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo:
Se a é o primeiro termo de uma Progressão Geométrica infinita de razão , então a soma dos termos dessa PG é um número racional.