Suponha que p(x) tenha n raízes reais alpha1, alpha2, ..., alphan. Considere que o polinômio q(x) = x^n + b(n-1) x^(n-1) + ... + b2 x^2 + b1 x + b0 com coeficientes reais, tem n raízes reais β1, β2, ..., βn de modo que β1 = α1, β2 = α2, ..., βn-1 = αn-1 e beta_n = -alpha_n. Nessas condições, podemos afirmar que o polinômio soma p(x) + q(x) tem uma raiz nula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos dois polinômios, e , cada um com raízes reais. As raízes de são quase iguais às de , exceto que a última raiz de é o inverso da última raiz de . Nosso objetivo é mostrar que a soma desses dois polinômios, , tem uma raiz em . Para isso, vamos utilizar propriedades dos polinômios e suas raízes.

Passo 2

Vamos começar escrevendo os polinômios e em termos de suas raízes. Sabemos que se um polinômio tem raízes , ele pode ser escrito como:
onde é um coeficiente constante. Da mesma forma, para :
Como para e , podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor dos polinômios e em , ou seja, e . Isso nos ajudará a encontrar .
Para :
Para :

Passo 4

Observe que os produtos e são semelhantes, diferindo apenas nos sinais devido aos termos e . Podemos relacionar esses termos da seguinte forma:
Se assumirmos que (o que geralmente é o caso para polinômios construídos de maneira semelhante), então:

Passo 5

Com isso, ao somarmos e , temos:
Isso significa que o valor da soma dos polinômios em é zero.

Resposta

Portanto, o polinômio tem uma raiz em .

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