Suponha que
tenha
raízes reais
. Considere que o polinômio
com coeficientes reais, tem
raízes reais
de modo que
e
. Nessas condições, podemos afirmar que o polinômio soma
tem uma raiz nula.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos dois polinômios,
e
, cada um com
raízes reais. As raízes de
são quase iguais às de
, exceto que a última raiz de
é o inverso da última raiz de
. Nosso objetivo é mostrar que a soma desses dois polinômios,
, tem uma raiz em
. Para isso, vamos utilizar propriedades dos polinômios e suas raízes.
Passo 2
Vamos começar escrevendo os polinômios
e
em termos de suas raízes. Sabemos que se um polinômio tem raízes
, ele pode ser escrito como:
onde
é um coeficiente constante. Da mesma forma, para
:
Como
para
e
, podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor dos polinômios
e
em
, ou seja,
e
. Isso nos ajudará a encontrar
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Observe que os produtos
e
são semelhantes, diferindo apenas nos sinais devido aos termos
e
. Podemos relacionar esses termos da seguinte forma:
Se assumirmos que
(o que geralmente é o caso para polinômios construídos de maneira semelhante), então:
Passo 5
Com isso, ao somarmos
e
, temos:
Isso significa que o valor da soma dos polinômios em
é zero.
Resposta
Portanto, o polinômio
tem uma raiz em
.
Exercícios relacionados
(Ufsc) Seja
um polinômio de grau 4 dado por
. Com essa informação, assinale
proposição(ões) CORRETA(S).
Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo:
Se a é o primeiro termo de uma Progressão Geométrica infinita de razão
, então a soma dos termos dessa PG é um número racional.