Obtenha a primitiva por substituição de variáveis:
integral x raiz32+4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão dentro da integral que possa ser substituída por uma nova variável , facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da integral será substituída. Observando a expressão dentro da raiz, temos u = 32 + 4x^2 . Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 8x em relação a dx = du8x para substituir . Calculando:
Portanto, podemos rearranjar para :

Passo 4

Substituímos integral x raizu cdot du8x e integral raizu8 , du na integral original:
Aqui, os se cancelam:

Passo 5

Agora a integral está bem mais simples. Vamos resolver:
18 integral u^1/2 , du
Integrando 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo 112 (32 + 4x^2)^3/2 + C :

Resposta

A primitiva da integral é:
112 (32 + 4x^2)^3/2 + C

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