Sejam f uma função, e c um valor do domínio de f. Suponha que f''' seja contínua e f'(c) = f''(c) = 0, mas f'''(c) > 0. A função f tem um mínimo ou máximo local em c? A função f apresenta um ponto de inflexão em c? (Dica: considere a função g = f' )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma função e um ponto no seu domínio. A gente sabe que a terceira derivada de , ou seja, , é contínua. Além disso, e , mas . A pergunta é: será que tem um mínimo ou máximo local em ? E também, será que tem um ponto de inflexão em ? Para resolver isso, vamos usar a dica e considerar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que é um ponto crítico da função . Pontos críticos são candidatos a serem máximos ou mínimos locais, mas também podem ser pontos de inflexão.

Passo 3

Agora, olhando para , isso significa que a segunda derivada no ponto também é zero. A segunda derivada normalmente nos ajuda a determinar a concavidade da função e a identificar máximos ou mínimos locais através do teste da segunda derivada. Mas como ela é zero aqui, esse teste não é conclusivo.

Passo 4

Como o teste da segunda derivada não deu uma resposta definitiva, vamos seguir a dica e considerar a função . Sabemos que e . Isso quer dizer que a função tem uma derivada terceira positiva no ponto .

Passo 5

Para saber se tem um ponto de inflexão em , precisamos verificar se a concavidade da função muda nesse ponto. Como , isso indica que a concavidade está mudando de concava para convexa ou vice-versa, caracterizando um ponto de inflexão.

Resposta

A função não possui nem um mínimo nem um máximo local em , mas apresenta um ponto de inflexão em .

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