Sejam
uma função, e c um valor do domínio de f. Suponha que
seja contínua e
, mas
. A função
tem um mínimo ou máximo local em c? A função
apresenta um ponto de inflexão em c? (Dica: considere a função
)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma função
e um ponto
no seu domínio. A gente sabe que a terceira derivada de
, ou seja,
, é contínua. Além disso,
e
, mas
. A pergunta é: será que
tem um mínimo ou máximo local em
? E também, será que
tem um ponto de inflexão em
? Para resolver isso, vamos usar a dica e considerar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que
é um ponto crítico da função
. Pontos críticos são candidatos a serem máximos ou mínimos locais, mas também podem ser pontos de inflexão.
Passo 3
Agora, olhando para
, isso significa que a segunda derivada no ponto
também é zero. A segunda derivada normalmente nos ajuda a determinar a concavidade da função e a identificar máximos ou mínimos locais através do teste da segunda derivada. Mas como ela é zero aqui, esse teste não é conclusivo.
Passo 4
Como o teste da segunda derivada não deu uma resposta definitiva, vamos seguir a dica e considerar a função
. Sabemos que
e
. Isso quer dizer que a função
tem uma derivada terceira positiva no ponto
.
Passo 5
Para saber se
tem um ponto de inflexão em
, precisamos verificar se a concavidade da função muda nesse ponto. Como
, isso indica que a concavidade está mudando de concava para convexa ou vice-versa, caracterizando um ponto de inflexão.
Resposta
A função
não possui nem um mínimo nem um máximo local em
, mas apresenta um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Obtenha a primitiva reconhecendo-a a partir das regras de derivação:
Obtenha a primitiva reconhecendo-a a partir das regras de derivação:
Obtenha a primitiva por substituição de variáveis:
Obtenha a primitiva por substituição de variáveis: