Obtenha a primitiva por substituição de variáveis:
integral(2 x+3)^11 d x

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral integral(2 x+3)^11 , dx. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando o método de substituição de variáveis. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observamos que dentro da potência temos (2x + 3). Então, vamos definir:
u = 2x + 3
Essa substituição nos ajuda a simplificar a integral, porque a expressão 2x + 3 aparece na função que estamos integrando.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Derivando u = 2x + 3, temos:
dudx = 2 Rightarrow du = 2, dx Rightarrow dx = du2
Isso nos permite substituir dx na integral original.

Passo 4

Substituindo u e dx na integral, ficamos com:
integral (2x + 3)^11 , dx = integral u^11 cdot du2 = 12 integral u^11 , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar u^11 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
12 integral u^11 , du = 12 cdot u^1212 + C = u^1224 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
u = 2x + 3 Rightarrow (2x + 3)^1224 + C

Resposta

A primitiva é (2x + 3)^1224 + C, onde C é a constante de integração.

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