Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
. Isso envolve entender um pouco sobre séries de Taylor, que são maneiras de expressar funções como somas infinitas de potências de
. Vamos precisar conhecer a série geométrica básica e saber como integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série geométrica para
é semelhante à série para
, que é
. Nesse caso, temos
, então:
Essa série converge quando
, ou seja, quando
.
Passo 3
Sabemos que
é a integral de
. Então, para encontrar a série de potências de
, vamos integrar a série que encontramos no passo anterior termo a termo:
Integrando cada termo:
Como
, a constante de integração
é zero. Portanto, a série de potências para
é: