Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
© y = arctg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função . Isso envolve entender um pouco sobre séries de Taylor, que são maneiras de expressar funções como somas infinitas de potências de . Vamos precisar conhecer a série geométrica básica e saber como integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série geométrica para é semelhante à série para , que é . Nesse caso, temos , então:
Essa série converge quando , ou seja, quando .

Passo 3

Sabemos que é a integral de . Então, para encontrar a série de potências de , vamos integrar a série que encontramos no passo anterior termo a termo:
Integrando cada termo:
Como , a constante de integração é zero. Portanto, a série de potências para é:

Resposta

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