Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
(a) y = e^(-x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para obter uma representação em série de potências para a função . Isso envolve trabalhar com séries de Taylor, que são usadas para expressar funções como somas infinitas de potências de .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Taylor para a função exponencial centrada em 0 (também conhecida como série de Maclaurin) é:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros positivos até .

Passo 3

Queremos encontrar a série para . Para isso, basta substituir por na série de :
Isso resulta em:

Resposta

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