9.2-3 Para os seguintes sinais, obtenha a TFTD diretamente, utilizando a definição da Eq. (9.30). Assuma
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para obter a Transformada de Fourier em Tempo Discreto (TFTD) diretamente para os sinais listados, utilizando a definição dada pela Eq. (9.30). Para isso, vamos precisar entender a definição da TFTD e aplicar passo a passo para cada sinal.
Passo 2
Parte (a)
Primeiro, vamos analisar o sinal
, conhecido como delta de Dirac ou impulso unitário. Esse sinal é zero para todos os valores de
, exceto para
, onde é igual a 1.
Aplicando a definição da TFTD:
Como
para todo
diferente de 0, a soma reduz-se a:
Passo 3
Parte (b)
Agora, vamos considerar o sinal
, que é uma versão deslocada do impulso unitário. Esse sinal é zero para todos os
, exceto para
, onde é igual a 1.
Aplicando a definição da TFTD:
Novamente, como
para todo
diferente de
, a soma reduz-se a:
Passo 4
Parte ©
Vamos analisar o sinal
, onde
é a função degrau unitário deslocada. Isso significa que o sinal é zero para
e igual a
para
.
Aplicando a definição da TFTD:
Essa é uma série geométrica onde a razão é
e converge se
:
Passo 5
Parte (d)
Agora, consideramos o sinal
. A função degrau
é zero para
e igual a
para
.
Aplicando a definição da TFTD:
Essa soma pode ser reescrita iniciando de
:
Resolvendo a série geométrica:
Passo 6
Parte (e)
Vamos analisar o sinal
, onde
é a função degrau unitário. Isso significa que o sinal é zero para
e igual a
para
.
Aplicando a definição da TFTD:
Essa é uma série geométrica que converge se
:
Passo 7
Parte (f)
Por último, consideramos o sinal
. Esse sinal é simétrico em relação a
, ou seja, possui os mesmos valores para
positivo e negativo.
Aplicando a definição da TFTD:
Utilizando a fórmula da série geométrica para cossenos:
Simplificando:
Resposta
As Transformadas de Fourier em Tempo Discreto para os sinais são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercícios relacionados
9.1-1 Obtenha a série de Fourier em tempo discreto
(SFTD) e trace seu espectro e
para
para o seguinte sinal periódico:
(SFTD) e trace seu espectro
8.1-2 Determine a taxa de amostragem de Nyquist e o intervalo de amostragem de Nyquist para os sinais
(a)
(b)
©
(d)
Figura P8.1-1
(a)
(b)
©
(d)
Figura P8.1-1
Converta os seguintes números binários para sua forma decimal:
Seja
um número real positivo. Demonstre que: