9.2-3 Para os seguintes sinais, obtenha a TFTD diretamente, utilizando a definição da Eq. (9.30). Assuma |gamma|<1.
(a) de
(b) de
© gamma^n u[n-1]
(d) gamma^n u[n+1]
(e) (-gamma)^n u[n]
(f) gamma^|n|
X(Omega)=sumn=-infty^infty x[n] e^-j Omega n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para obter a Transformada de Fourier em Tempo Discreto (TFTD) diretamente para os sinais listados, utilizando a definição dada pela Eq. (9.30). Para isso, vamos precisar entender a definição da TFTD e aplicar passo a passo para cada sinal.

Passo 2

Parte (a) de
Primeiro, vamos analisar o sinal de, conhecido como delta de Dirac ou impulso unitário. Esse sinal é zero para todos os valores de X(Omega) = sumn=-infty^infty de, exceto para X(Omega) = e^-j Omega cdot 0 = 1 , onde é igual a 1.
Aplicando a definição da TFTD:
Como para todo diferente de 0, a soma reduz-se a:

Passo 3

Parte (b) de
Agora, vamos considerar o sinal de, que é uma versão deslocada do impulso unitário. Esse sinal é zero para todos os X(Omega) = sumn=-infty^infty de, exceto para X(Omega) = e^-j Omega k , onde é igual a 1.
Aplicando a definição da TFTD:
Novamente, como para todo diferente de , a soma reduz-se a:

Passo 4

Parte © gamma^n u[n - 1]
Vamos analisar o sinal gamma^n u[n - 1], onde X(Omega) = sumn=-infty^infty gamma^n u[n - 1] e^-j Omega n = sumn=1^infty gamma^n e^-j Omega n é a função degrau unitário deslocada. Isso significa que o sinal é zero para X(Omega) = gamma e^-j Omega1 - gamma e^-j Omega e igual a para .
Aplicando a definição da TFTD:
Essa é uma série geométrica onde a razão é e converge se :

Passo 5

Parte (d) gamma^n u[n + 1]
Agora, consideramos o sinal gamma^n u[n + 1]. A função degrau X(Omega) = sumn=-infty^infty gamma^n u[n + 1] e^-j Omega n = sumn=-1^infty gamma^n e^-j Omega n é zero para X(Omega) = gamma^-1 e^j Omega + sumn=0^infty (gamma e^-j Omega)^n e igual a X(Omega) = gamma^-1 e^j Omega1 - gamma e^-j Omega = e^j Omegagamma (1 - gamma e^-j Omega) para .
Aplicando a definição da TFTD:
Essa soma pode ser reescrita iniciando de :
Resolvendo a série geométrica:

Passo 6

Parte (e) (-gamma)^n u[n]
Vamos analisar o sinal (-gamma)^n u[n], onde X(Omega) = sumn=-infty^infty (-gamma)^n u[n] e^-j Omega n = sumn=0^infty (-gamma e^-j Omega)^n é a função degrau unitário. Isso significa que o sinal é zero para X(Omega) = 11 + gamma e^-j Omega e igual a para .
Aplicando a definição da TFTD:
Essa é uma série geométrica que converge se :

Passo 7

Parte (f) gamma^|n|
Por último, consideramos o sinal gamma^|n|. Esse sinal é simétrico em relação a X(Omega) = sumn=-infty^infty gamma^|n| e^-j Omega n = gamma^0 + 2 sumn=1^infty gamma^n cos(Omega n) , ou seja, possui os mesmos valores para X(Omega) = 1 + 2 cdot gamma cos Omega1 - 2 gamma cos Omega + gamma^2 positivo e negativo.
Aplicando a definição da TFTD:
X(Omega) = 1 - gamma^21 - 2 gamma cos Omega + gamma^2
Utilizando a fórmula da série geométrica para cossenos:
Simplificando:

Resposta

As Transformadas de Fourier em Tempo Discreto para os sinais são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Exercícios relacionados