Obtenha uma série de potência de x para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão: 11-x=sumn=0^infty x^n ;|x|<1
1+x^2(1-x^2)^2
Resp.
b) -sumn=0^infty(2 n+1) cdot x^2 n ;|x|<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma série de potência para a função e determinar o intervalo de convergência. A matéria envolvida aqui é Séries de Potência, e vamos precisar usar a série geométrica e suas propriedades, como a derivação termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série geométrica básica:
11 - x = sumn=0^infty x^n ; |x| < 1
Essa série é válida para valores de cujo módulo seja menor que 1. Vamos usar essa forma para manipular a função dada.

Passo 3

Observamos que a função que queremos expressar como série de potência é:
Podemos reescrever o denominador 1 + x^2(1 - x^2)^2 como . Para facilitar, vamos primeiro encontrar uma série para .

Passo 4

Sabemos que a derivada da série geométrica em relação a ddx(11 - x) = 1(1 - x)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^n nos dá:
1(1 - x)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^n ; |x| < 1
Isso significa que:

Passo 5

Agora, voltando à nossa função original:
1 + x^2(1 - x^2)^2 = 1(1 - x^2)^2 + x^2(1 - x^2)^2
Vamos tratar cada termo separadamente usando a série que acabamos de encontrar.

Passo 6

Para o primeiro termo 1(1 - x^2)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^2n ; |x^2| < 1 Rightarrow |x| < 1 , substituímos por na série:

Passo 7

Para o segundo termo x^2(1 - x^2)^2 = x^2 sumn=0^infty (n + 1) x^2n = sumn=0^infty (n + 1) x^2n + 2 , multiplicamos a série anterior por sumn=0^infty (n + 1) x^2(n + 1) = sumn=1^infty n x^2n :
Podemos reescrever o índice para simplificar:

Passo 8

Agora, juntando os dois termos:
1 + x^2(1 - x^2)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^2n + sumn=1^infty n x^2n
Para combinar as séries, ajustamos os índices:
sumn=0^infty (n + 1) x^2n + sumn=0^infty (n) x^2n = sumn=0^infty (2n + 1) x^2n

Passo 9

Portanto, a série de potência para a função sumn=0^infty (2n + 1) x^2n é:
E o intervalo de convergência, como vimos, é .

Resposta

A série de potência é:
1 + x^2(1 - x^2)^2 = sumn=0^infty (2n + 1) x^2n ; |x| < 1

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