Obtenha uma série de potência de para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão:

Resp.
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma série de potência para a função e determinar o intervalo de convergência. A matéria envolvida aqui é Séries de Potência, e vamos precisar usar a série geométrica e suas propriedades, como a derivação termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série geométrica básica:
Essa série é válida para valores de cujo módulo seja menor que 1. Vamos usar essa forma para manipular a função dada.

Passo 3

Observamos que a função que queremos expressar como série de potência é:
Podemos reescrever o denominador como . Para facilitar, vamos primeiro encontrar uma série para .

Passo 4

Sabemos que a derivada da série geométrica em relação a nos dá:
Isso significa que:

Passo 5

Agora, voltando à nossa função original:
Vamos tratar cada termo separadamente usando a série que acabamos de encontrar.

Passo 6

Para o primeiro termo , substituímos por na série:

Passo 7

Para o segundo termo , multiplicamos a série anterior por :
Podemos reescrever o índice para simplificar:

Passo 8

Agora, juntando os dois termos:
Para combinar as séries, ajustamos os índices:

Passo 9

Portanto, a série de potência para a função é:
E o intervalo de convergência, como vimos, é .

Resposta

A série de potência é:

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