Obtenha uma série de potência de
para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão:
Resp.
b)
Sugestão:
Resp.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma série de potência para a função
e determinar o intervalo de convergência. A matéria envolvida aqui é Séries de Potência, e vamos precisar usar a série geométrica e suas propriedades, como a derivação termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série geométrica básica:
Essa série é válida para valores de
cujo módulo seja menor que 1. Vamos usar essa forma para manipular a função dada.
Passo 3
Observamos que a função que queremos expressar como série de potência é:
Podemos reescrever o denominador
como
. Para facilitar, vamos primeiro encontrar uma série para
.
Passo 4
Sabemos que a derivada da série geométrica em relação a
nos dá:
Isso significa que:
Passo 5
Agora, voltando à nossa função original:
Vamos tratar cada termo separadamente usando a série que acabamos de encontrar.
Passo 6
Para o primeiro termo
, substituímos
por
na série:
Passo 7
Para o segundo termo
, multiplicamos a série anterior por
:
Podemos reescrever o índice para simplificar:
Passo 8
Agora, juntando os dois termos:
Para combinar as séries, ajustamos os índices:
Passo 9
Portanto, a série de potência para a função
é:
E o intervalo de convergência, como vimos, é
.
Resposta
A série de potência é:
Exercícios relacionados
Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
.
6
Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(a)
6
Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(a)
Nos Exercícios 23-34, encontre
e
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
:
Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
;