Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular L^{-1}{F(s)} : L^{-1} { s / (s + 1)^{2} }

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Vamos usar propriedades de translação e derivadas de transformadas de Laplace. Para isso, precisamos lembrar das regras básicas da transformada de Laplace e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a aplicação das propriedades. Observamos que o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Vamos separar a fração de uma forma que possamos identificar termos conhecidos da transformada de Laplace. Podemos escrever:

Passo 4

Agora simplificamos cada termo separadamente:
e
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
e

Passo 6

Substituindo de volta nas expressões, temos:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

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