Obtenha a série de Taylor da função , com relação a . Determine seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função em torno de . Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender o que é série de Taylor, como calcular os termos dessa série e como verificar até onde essa série é válida (raio de convergência).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, o ponto é .
A fórmula geral da série de Taylor de uma função em torno de é:
Como estamos expandindo em torno de , , então a fórmula fica:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias de e avaliá-las em .
Primeira derivada:
Então,
Segunda derivada:
Então,
Terceira derivada:
Então,
Quarta derivada:
Então,
E assim por diante. Observamos que as derivadas seguem um padrão de alternância de sinais e crescimento fatorial no numerador.
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Taylor usando as derivadas que calculamos.
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:
Observamos que a série segue o padrão:
Passo 5
Por fim, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar os valores de para os quais a série converge.
Usamos a fórmula:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.