Obtenha a série de Taylor da função , com relação a . Determine seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função em torno de . Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender o que é série de Taylor, como calcular os termos dessa série e como verificar até onde essa série é válida (raio de convergência).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, o ponto é .
A fórmula geral da série de Taylor de uma função em torno de é:
Como estamos expandindo em torno de , , então a fórmula fica:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias de e avaliá-las em .
Primeira derivada:
Então,
Segunda derivada:
Então,
Terceira derivada:
Então,
Quarta derivada:
Então,
E assim por diante. Observamos que as derivadas seguem um padrão de alternância de sinais e crescimento fatorial no numerador.

Passo 4

Agora, vamos montar a série de Taylor usando as derivadas que calculamos.
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:
Observamos que a série segue o padrão:

Passo 5

Por fim, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar os valores de para os quais a série converge.
Usamos a fórmula:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Então,
Calculando o limite:
Para que a série convirja, precisamos que .

Resposta

A série de Taylor da função em torno de é:
O raio de convergência dessa série é .

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