Prove que log x=lim n infty(n(x^1n-1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que é igual ao limite . Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente limites e propriedades dos logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os logaritmos se comportam e como trabalhar com limites quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que x^1n = (e^log x)^1n = e^log xn pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão no limite original:
limn infty (n (e^log xn - 1))
Para resolver esse limite, vamos usar a expansão em série de Taylor para e^y approx 1 + y + y^22 + dots quando e^log xn approx 1 + log xn é pequeno ( ):
Como tende ao infinito, se torna bem pequeno, então podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo essa aproximação de volta no limite:
limn infty (n (1 + log xn - 1)) = limn infty (n cdot log xn)
Simplificando:
limn infty log x = log x

Resposta

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