Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que
é igual ao limite
. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente limites e propriedades dos logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os logaritmos se comportam e como trabalhar com limites quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que
pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão no limite original:
Para resolver esse limite, vamos usar a expansão em série de Taylor para
quando
é pequeno (
):
Como
tende ao infinito,
se torna bem pequeno, então podemos aproximar:
Passo 4
Substituindo essa aproximação de volta no limite:
Simplificando:
Resposta
Exercícios relacionados
Obtenha a série de Taylor da função
, com relação a
. Determine seu raio de convergência.
Prove que
.
Prove que
.
Seja
uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação:
.
(a) Se for diferenciável, então
, onde
é constante.
(b) Se for contínua, então
, onde
é constante.
(a) Se
(b) Se