Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que é igual ao limite . Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente limites e propriedades dos logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os logaritmos se comportam e como trabalhar com limites quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão no limite original:
Para resolver esse limite, vamos usar a expansão em série de Taylor para quando é pequeno ( ):
Como tende ao infinito, se torna bem pequeno, então podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo essa aproximação de volta no limite:
Simplificando:

Resposta

Exercícios relacionados

Obtenha a série de Taylor da função , com relação a . Determine seu raio de convergência.
Prove que .
Prove que .
Seja uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: .
(a) Se for diferenciável, então , onde é constante.
(b) Se for contínua, então , onde é constante.