Prove que lim x infty((exp (1x)-1) x+1x)^x=e^32.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que:
lim x infty((exp (1x)-1) x+1x)^x = e^32
Matéria envolvida: Limites no infinito e propriedades de exponenciais.
O que vamos precisar: Saber manipular expressões com exponenciais, entender o comportamento de funções quando vai para o infinito e usar aproximações de séries de Taylor para a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
(exp (1x)-1) x + 1x
Para isso, vamos lembrar que, para valores pequenos de exp(t) approx 1 + t + t^22 , temos a aproximação da função exponencial:
Aqui, , que fica pequeno quando vai para o infinito.

Passo 3

Aplicando a aproximação de Taylor na expressão exp(1x) approx 1 + 1x + 12x^2 :
exp(1x) - 1 approx 1x + 12x^2
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 4

Agora, multiplicamos essa aproxima�o por (exp(1x) - 1) x approx (1x + 12x^2) x = 1 + 12x :
(exp(1x) - 1) x + 1x approx 1 + 12x + 1x = 1 + 32x
Então, a expressão completa dentro do limite fica:

Passo 5

Agora, temos que calcular o limite de:
(1 + 32x)^x quando x infty
Sabemos que:
limn to infty (1 + an)^n = e^a
Aqui, .

Passo 6

Aplicando a fórmula acima:
limx to infty (1 + 32x)^x = e^32

Resposta

lim x infty((exp (1x)-1) x+1x)^x = e^32

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