Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que:
Matéria envolvida: Limites no infinito e propriedades de exponenciais.
O que vamos precisar: Saber manipular expressões com exponenciais, entender o comportamento de funções quando vai para o infinito e usar aproximações de séries de Taylor para a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Para isso, vamos lembrar que, para valores pequenos de , temos a aproximação da função exponencial:
Aqui, , que fica pequeno quando vai para o infinito.

Passo 3

Aplicando a aproximação de Taylor na expressão :
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 4

Agora, multiplicamos essa aproxima�o por :
Então, a expressão completa dentro do limite fica:

Passo 5

Agora, temos que calcular o limite de:
Sabemos que:
Aqui, .

Passo 6

Aplicando a fórmula acima:

Resposta

Exercícios relacionados

Prove que .
Obtenha a série de Taylor da função , com relação a . Determine seu raio de convergência.
Seja uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: .
(a) Se for diferenciável, então , onde é constante.
(b) Se for contínua, então , onde é constante.
Sabendo que , nos itens e encontre a função e no item (b) a função .
(a)
.
.
© .
(d) .