Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que:
Matéria envolvida: Limites no infinito e propriedades de exponenciais.
O que vamos precisar: Saber manipular expressões com exponenciais, entender o comportamento de funções quando
vai para o infinito e usar aproximações de séries de Taylor para a função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Para isso, vamos lembrar que, para valores pequenos de
, temos a aproximação da função exponencial:
Aqui,
, que fica pequeno quando
vai para o infinito.
Passo 3
Aplicando a aproximação de Taylor na expressão
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 4
Agora, multiplicamos essa aproxima�o por
:
Então, a expressão completa dentro do limite fica:
Passo 5
Agora, temos que calcular o limite de:
Sabemos que:
Aqui,
.
Passo 6
Aplicando a fórmula acima: