(a) Resolva
PVI
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 3
Agora, encontramos a equação característica associada à equação diferencial:
Passo 4
Resolvemos a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá as raízes complexas:
Passo 5
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
na solução geral:
Passo 7
Segunda condição:
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Simplificando e avaliando em
:
Resposta
A solução do PVI é: