(a) Resolva circ PVI 2 y'' - 2 y' + 5 y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:

Passo 3

Agora, encontramos a equação característica associada à equação diferencial:

Passo 4

Resolvemos a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá as raízes complexas:

Passo 5

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:

Passo 7

Segunda condição: .
Primeiro, encontramos a derivada de y(t):
Simplificando e avaliando em :

Resposta

A solução do PVI é:

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