Obtenha uma solução em série de potências para
e discuta sua convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar uma solução para a equação diferencial
usando uma série de potências. Isso significa que vamos tentar expressar a função
como uma soma infinita de potências de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de 0 (série de Taylor):
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Simplificando o termo da direita:
Passo 5
Para facilitar, vamos reindexar as somas para que todas tenham potências de
. Vamos substituir
na primeira soma e
na segunda:
Agora, juntamos as somas:
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 6
Isso nos dá um sistema de equações:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos determinar os coeficientes
usando a relação de recorrência. Precisamos de condições iniciais, geralmente
e
, que são arbitrárias e definem a solução geral.
Vamos deixar
e
, onde
e
são constantes.
Usando a relação de recorrência:
-
-
-
-
- E assim por diante.
Passo 8
Então, a solução em série fica:
Passo 9
Para discutir a convergência, observamos que os termos da série diminuem rapidamente devido aos fatores no denominador (como
). Isso sugere que a série converge para todo
, ou seja, o raio de convergência é infinito. Portanto, a solução em série de potências que encontramos é válida para todo o domínio real de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
em série de potências é:
Essa série converge para todo valor de
, ou seja, a solução é válida para qualquer
real.