Obtenha uma solução em série de potências para y'' + xy = 0 e discuta sua convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar uma solução para a equação diferencial usando uma série de potências. Isso significa que vamos tentar expressar a função como uma soma infinita de potências de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de 0 (série de Taylor):
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Simplificando o termo da direita:

Passo 5

Para facilitar, vamos reindexar as somas para que todas tenham potências de . Vamos substituir na primeira soma e na segunda:
Agora, juntamos as somas:
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 6

Isso nos dá um sistema de equações:
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos determinar os coeficientes usando a relação de recorrência. Precisamos de condições iniciais, geralmente e , que são arbitrárias e definem a solução geral.
Vamos deixar e , onde e são constantes.
Usando a relação de recorrência:
  • E assim por diante.

Passo 8

Então, a solução em série fica:

Passo 9

Para discutir a convergência, observamos que os termos da série diminuem rapidamente devido aos fatores no denominador (como ). Isso sugere que a série converge para todo , ou seja, o raio de convergência é infinito. Portanto, a solução em série de potências que encontramos é válida para todo o domínio real de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial em série de potências é:
Essa série converge para todo valor de , ou seja, a solução é válida para qualquer real.

Exercícios relacionados