Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
y'' + x y' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando séries de potências em torno de um ponto . Aqui, vamos aplicar conceitos de séries de Taylor para encontrar uma solução que expanda y em potências de . Vamos precisar lembrar como derivar séries e como igualar coeficientes para achar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y pode ser escrita como uma série de potências centrada em x = 0 (escolhi para simplificar):
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y(x):

Passo 4

Substituímos y, e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de x. Reescrevendo as séries:

Passo 6

Agora, juntamos todas as séries em uma única soma:
Aqui, é 1 quando n ≥ 1 e 0 caso contrário.

Passo 7

Para que a equação seja válida para todo x, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Simplificando:

Passo 8

Essa é a relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes em termos de . Começamos com e (que são as condições iniciais):
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 9

Construímos a solução geral substituindo os coeficientes de volta na série:
Essa é a solução em série da equação diferencial dada.

Passo 10

Para determinar o intervalo de convergência, observamos que o coeficiente geral sugere que a série tem um raio de convergência infinito. Ou seja, a série converge para todo x em R.

Resposta

A solução em série da equação centrada em x = 0 é
e a série converge para todo x em R.

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