Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando séries de potências em torno de um ponto
. Aqui, vamos aplicar conceitos de séries de Taylor para encontrar uma solução que expanda
em potências de
. Vamos precisar lembrar como derivar séries e como igualar coeficientes para achar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
(escolhi
para simplificar):
Aqui,
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de
. Reescrevendo as séries:
Passo 6
Agora, juntamos todas as séries em uma única soma:
Aqui,
é 1 quando
e 0 caso contrário.
Passo 7
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Simplificando:
Passo 8
Essa é a relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes
em termos de
. Começamos com
e
(que são as condições iniciais):
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Passo 9
Construímos a solução geral substituindo os coeficientes de volta na série:
Essa é a solução em série da equação diferencial dada.
Passo 10
Para determinar o intervalo de convergência, observamos que o coeficiente geral
sugere que a série tem um raio de convergência infinito. Ou seja, a série converge para todo
.
Resposta
A solução em série da equação
centrada em
é
e a série converge para todo
.