Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando uma série em torno de um ponto adequado. Para isso, vamos utilizar o método de séries de potências, que nos ajuda a expressar a solução da equação como uma soma infinita de termos com potências de . Precisamos decidir um ponto onde expandiremos a série. Vamos escolher para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Onde são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de :
Agora, substituímos e na equação diferencial:
Passo 4
Vamos alinhar os termos para facilitar a comparação dos coeficientes:
Note que reindexamos a soma da derivada para começar em .
Passo 5
Igualando os coeficientes de potências iguais de , temos:
Isso nos dá a relação de recorrência para .
Passo 6
Vamos resolver para os coeficientes:
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Com essas relações, vamos calcular alguns coeficientes:
Já temos e .
Para :
Para :
E assim por diante.
Podemos notar que os coeficientes seguem um padrão que envolve os fatoriais.
Passo 8
Observando o padrão, a série pode ser expressa como:
A primeira parte da série é uma expansão da exponencial , então podemos escrever:
Passo 9
Determinar o conjunto de valores de para os quais a série converge. Como a série de potências é baseada na função exponencial, que converge para todo , a solução é válida para todos os números reais .
Resposta
A solução em série da equação em torno de é , válida para todo .