Obtenha todas as raízes, na forma polar, dos seguintes polinômios complexos:
(a)
(b) ;
(c) (isto é, achar as duas raízes quadradas de 1 );
(d) (isto é, achar as quatro raízes quartas de -1 ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as raízes, na forma polar, de alguns polinômios complexos. Isso implica que vamos trabalhar com números complexos e expressar as soluções em termos de módulo e argumento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra de números complexos, como a forma polar e a fórmula de De Moivre.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): .
Primeiro, identificamos que é uma equação quadrática em . Para resolver equações quadráticas, usamos a fórmula de Bhaskara, que também funciona para números complexos.
A fórmula de Bhaskara é:
onde , , e .
Passo 3
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, sabemos que as raízes serão números complexos conjugados.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as duas raízes são:
Passo 5
Agora, vamos converter essas raízes para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
onde é o módulo e é o argumento.
Primeiro, calculamos o módulo :
Então, o módulo é 1.
Passo 6
Agora, encontramos o argumento para cada raiz.
Para :
Para :
Passo 7
Finalmente, expressamos as raízes na forma polar:
Resposta
As raízes da equação na forma polar são:
Exercícios relacionados
Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
Calcule as integrais