Obtenha todas as raízes, na forma polar, dos seguintes polinômios complexos: (a) (b) ; (c) (isto é, achar as duas raízes quadradas de 1 ); (d) (isto é, achar as quatro raízes quartas de -1 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as raízes, na forma polar, de alguns polinômios complexos. Isso implica que vamos trabalhar com números complexos e expressar as soluções em termos de módulo e argumento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra de números complexos, como a forma polar e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): . Primeiro, identificamos que é uma equação quadrática em . Para resolver equações quadráticas, usamos a fórmula de Bhaskara, que também funciona para números complexos. A fórmula de Bhaskara é: onde , , e .

Passo 3

Calculando o discriminante (): Como o discriminante é negativo, sabemos que as raízes serão números complexos conjugados.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara: Então, as duas raízes são:

Passo 5

Agora, vamos converter essas raízes para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por: onde é o módulo e é o argumento. Primeiro, calculamos o módulo : Então, o módulo é 1.

Passo 6

Agora, encontramos o argumento para cada raiz. Para : Para :

Passo 7

Finalmente, expressamos as raízes na forma polar:

Resposta

As raízes da equação na forma polar são:

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