Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1} {(t-1) U(t-1)};

Passo 1

Beleza, vamos resolver a transformada inversa de . Aqui, estamos lidando com a Transformada de Laplace e a Função Degrau (ou Função Unidade, ). Para isso, vamos precisar entender como a função degrau afeta a transformada e como aplicar propriedades da transformada de Laplace para funções deslocadas no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função degrau que “liga” a função a partir de . No nosso caso, , então faz com que a função só seja considerada a partir de .

Passo 3

A Transformada de Laplace de uma função deslocada no tempo, ou seja, , é dada por:
onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

No nosso caso, a função dentro da transformada é . Comparando com a fórmula acima, temos:
Então, precisamos encontrar a transformada de , que é conhecida.

Passo 5

A Transformada de Laplace de é:
Isso porque, de forma geral, para .

Passo 6

Aplicando a fórmula de deslocamento no tempo, substituímos pela transformada de e :

Passo 7

Agora, queremos a transformada inversa dessa expressão, ou seja:
Sabemos que a transformada inversa de é .

Passo 8

Aplicando essa propriedade, temos:

Resposta

A transformada inversa é .

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Obtenha r'(t): r(t) = arctg(t) * i + t * cos(t) * j - raiz(t) * k
Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
f(x) = raiz(2) / (3 + 3 x^2)
Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
r(theta) = 2 sec(theta) tg(theta) - 3 sec^2(theta)
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{cos(2 t) U(t - pi)};