Obtenha a transformada de Laplace de: f(t)=sen(pi2 t)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a transformada de Laplace de . A gente vai usar o conteúdo de transformada de Laplace, que ajuda a converter funções do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de Laplace da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é dada por:
Esse integral transforma a função original em termos de , que é uma variável complexa.

Passo 3

Agora, especificamente para a função seno, existe uma fórmula padrão. A transformada de Laplace de Lsin(at) = as^2 + a^2 é:
Isso simplifica muito nossa vida, porque não precisamos calcular o integral do zero.

Passo 4

No nosso exercício, a função é . Aqui, podemos ver que . Vamos substituir esse valor na fórmula que acabamos de lembrar.

Passo 5

Substituindo Lsin(pi2 t) = pi2s^2 + (pi2)^2 na fórmula da transformada de Laplace da função seno, temos:
s^2 + (pi2)^2 = s^2 + pi^24
Simplificando o denominador:
pi2s^2 + pi^24 = pi2(s^2 + pi^24)
Então, a expressão fica:

Resposta

A transformada de Laplace de Lf(t) = pi2s^2 + pi^24 é:

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