Obtenha a Transformada Z inversa das seguintes funções: F3(z)=zz^2-2 z+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a Transformada Z inversa da função . Isso envolve conhecimentos de transformadas Z e manipulação de funções racionais para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da função z^2 - 2z + 1 = (z - 1)^2 . Observamos que F3(z) = z(z - 1)^2 é um quadrado perfeito, ou seja:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, para encontrar a Transformada Z inversa, queremos expressar de uma forma que a gente consiga associar com uma transformada conhecida. Sabemos que a Transformada Z inversa de está relacionada a termos como .

Passo 4

Vamos reescrever F3(z) = z(z - 1)^2 = 1(z - 1)^2 cdot z para facilitar essa associação:
Aqui, percebemos que temos um termo que já conhecemos a transformada inversa.

Passo 5

Sabemos que:
Z^-11(z - a)^2 = n a^n - 1 u[n - 1]
No nosso caso, Z^-11(z - 1)^2 = n cdot 1^n - 1 cdot u[n - 1] = n cdot u[n - 1] , então:

Passo 6

Considerando que multiplicar por no domínio de corresponde a um deslocamento no tempo, a Transformada Z inversa final será:

Resposta

x[n] = n cdot u[n - 1]

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