Em um sistema de rádio via satélite, 500 estações de rádio estério são multiplexadas em um stream de dados. Para cada estação, dois canais de sinais (direito e esquerdo) de largura de banda 15 kHz são amostrados, quantizados e codificados em sinais PCM binários. Se o erro de quantização máximo aceitável na amplitude das amostras é de
da tensão de pico, encontre o número de bits mínimo do quantizador uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. Temos um sistema de rádio via satélite que multiplexa 500 estações de rádio estéreo. Cada estação tem dois canais de áudio (direito e esquerdo) com uma largura de banda de 15 kHz. Esses sinais são amostrados, quantizados e codificados em sinais PCM binários. A pergunta quer saber qual é o número mínimo de bits que o quantizador uniforme deve ter, considerando que o erro de quantização máximo permitido é de 1% da tensão de pico.
Conteúdo da matéria: Quantização em sinais digitais, especificamente quantização uniforme e erro de quantização.
O que vamos precisar: Entender a relação entre o número de bits no quantizador e o erro de quantização máximo permitido.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é quantização. Quando convertemos um sinal analógico (como o áudio) para digital, dividimos o intervalo de amplitude do sinal em níveis discretos. Cada nível é representado por um certo número de bits. Quanto mais bits, mais níveis e menor o erro de quantização.
O erro de quantização máximo (
) ocorre quando o valor real está exatamente no meio entre dois níveis de quantização. Portanto, o erro máximo é igual à metade do tamanho do intervalo entre dois níveis, ou seja:
Onde
é o tamanho do passo entre os níveis de quantização.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o erro de quantização máximo com a tensão de pico do sinal. A questão diz que o erro de quantização máximo aceitável é de 1% da tensão de pico (
). Assim:
Substituindo na equação anterior:
Passo 4
Sabemos que o tamanho do passo
em um quantizador uniforme é dado por:
Onde:
-
e são as tensões máxima e mínima do sinal. -
é o número de bits do quantizador.
Assumindo que o sinal é simétrico em torno de zero (o que é comum para sinais de áudio), temos:
Portanto:
Passo 5
Agora, igualamos as duas expressões que temos para
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 0,02:
Passo 6
Agora, queremos encontrar
tal que
. Para isso, usamos o logaritmo na base 2:
Calculando:
Como o número de bits deve ser inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
O número mínimo de bits que o quantizador uniforme deve ter é 7 bits.
Exercícios relacionados
Um sinal de televisão (áudio e vídeo) tem largura de banda de
. Esse sinal é amostrado, quantizado e codificado para binário para obter um sinal PCM. Determine a taxa de amostragem quando esse sinal é amostrado a
acima da taxa de Nyquist.
Um CD grava sinais de áudio digitalmente usando PCM. Considere que o sinal de áudio tem largura de banda de 15 kHz . Por razões práticas, os sinais costumam ser amostrados co taxas bem acima da taxa de Nyquist. Sistemas de CD costumam usar 44.100 amostras por segundo. Se
, determine o número de bits por segundo para codificar esse sinal e a mínima largura de banda necessária para transmitir esse sinal codificado.
Um CD grava sinais de áudio digitalmente usando PCM. Considere que o sinal de áudio tem largura de banda de 15 kHz . Determine a taxa de transmissão necessária para enviar esse sinal.
Obtenha a Transformada Z inversa das seguintes funções:
;