Em um sistema de rádio via satélite, 500 estações de rádio estério são multiplexadas em um stream de dados. Para cada estação, dois canais de sinais (direito e esquerdo) de largura de banda 15 kHz são amostrados, quantizados e codificados em sinais PCM binários. Se o erro de quantização máximo aceitável na amplitude das amostras é de da tensão de pico, encontre o número de bits mínimo do quantizador uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. Temos um sistema de rádio via satélite que multiplexa 500 estações de rádio estéreo. Cada estação tem dois canais de áudio (direito e esquerdo) com uma largura de banda de 15 kHz. Esses sinais são amostrados, quantizados e codificados em sinais PCM binários. A pergunta quer saber qual é o número mínimo de bits que o quantizador uniforme deve ter, considerando que o erro de quantização máximo permitido é de 1% da tensão de pico.
Conteúdo da matéria: Quantização em sinais digitais, especificamente quantização uniforme e erro de quantização.
O que vamos precisar: Entender a relação entre o número de bits no quantizador e o erro de quantização máximo permitido.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é quantização. Quando convertemos um sinal analógico (como o áudio) para digital, dividimos o intervalo de amplitude do sinal em níveis discretos. Cada nível é representado por um certo número de bits. Quanto mais bits, mais níveis e menor o erro de quantização.
O erro de quantização máximo ( ) ocorre quando o valor real está exatamente no meio entre dois níveis de quantização. Portanto, o erro máximo é igual à metade do tamanho do intervalo entre dois níveis, ou seja:
Onde é o tamanho do passo entre os níveis de quantização.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o erro de quantização máximo com a tensão de pico do sinal. A questão diz que o erro de quantização máximo aceitável é de 1% da tensão de pico ( ). Assim:
Substituindo na equação anterior:

Passo 4

Sabemos que o tamanho do passo em um quantizador uniforme é dado por:
Onde:
  • e são as tensões máxima e mínima do sinal.
  • é o número de bits do quantizador.
Assumindo que o sinal é simétrico em torno de zero (o que é comum para sinais de áudio), temos:
Portanto:

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões que temos para :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por 0,02:

Passo 6

Agora, queremos encontrar tal que . Para isso, usamos o logaritmo na base 2:
Calculando:
Como o número de bits deve ser inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

O número mínimo de bits que o quantizador uniforme deve ter é 7 bits.

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