Obtenha u ortogonal a (1,1,0) tal que |u|=raiz2 e o ângulo entre u e (1,-1,0) seja 45^circ. Resp: u=(raiz22,-raiz22, 1) e u=(raiz22,-raiz22,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um vetor u que seja ortogonal a (1,1,0), tenha módulo igual a raiz2 e forme um ângulo de 45^circ com o vetor (1,-1,0). Pra resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar, magnitude de vetores e a relação entre o ângulo e o produto escalar. Vamos precisar montar algumas equações e resolver pra achar os componentes do vetor u.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal a (1,1,0). Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, se u = (x, y, z), temos:
u cdot (1,1,0) = x cdot 1 + y cdot 1 + z cdot 0 = x + y = 0
Isso nos dá a primeira equação:
x + y = 0 Rightarrow y = -x

Passo 3

Agora, o vetor u precisa ter magnitude igual a raiz2. A magnitude de um vetor (x, y, z) é dada por:
|u| = raizx^2 + y^2 + z^2 = raiz2
Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar:
x^2 + y^2 + z^2 = 2
Como já sabemos que y = -x, substituímos na equação:
x^2 + (-x)^2 + z^2 = 2 x^2 + x^2 + z^2 = 2 2x^2 + z^2 = 2 Rightarrow z^2 = 2 - 2x^2

Passo 4

O próximo passo é usar a condição do ângulo de 45^circ entre u e (1,-1,0). A relação entre o ângulo theta e os vetores é dada por:
cos(theta) = u cdot (1,-1,0)|u| cdot |(1,-1,0)|
Sabemos que cos(45^circ) = raiz22, |u| = raiz2 e |(1,-1,0)| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2. Então:
raiz22 = x cdot 1 + y cdot (-1) + z cdot 0raiz2 cdot raiz2 raiz22 = x - y2 x - y = raiz2
Como sabemos que y = -x, substituímos:
x - (-x) = raiz2 2x = raiz2 x = raiz22

Passo 5

Agora que temos x, podemos encontrar y e z.
Primeiro, y = -x = -raiz22.
E para z, voltamos na equação z^2 = 2 - 2x^2:
z^2 = 2 - 2(raiz22)^2 z^2 = 2 - 2(24) z^2 = 2 - 1 z^2 = 1 z = pm 1

Resposta

Então, os vetores u que satisfazem todas as condições são:
u = (raiz22, -raiz22, 1) e u = (raiz22, -raiz22, -1)

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