Obtenha
ortogonal a
tal que
e o ângulo entre
e
seja
. Resp:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um vetor
que seja ortogonal a
, tenha módulo igual a
e forme um ângulo de
com o vetor
. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar, magnitude de vetores e a relação entre o ângulo e o produto escalar. Vamos precisar montar algumas equações e resolver pra achar os componentes do vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal a
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, se
, temos:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 3
Agora, o vetor
precisa ter magnitude igual a
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar:
Como já sabemos que
, substituímos na equação:
Passo 4
O próximo passo é usar a condição do ângulo de
entre
e
. A relação entre o ângulo
e os vetores é dada por:
Sabemos que
,
e
. Então:
Como sabemos que
, substituímos:
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar
e
.
Primeiro,
.
E para
, voltamos na equação
:
Resposta
Então, os vetores
que satisfazem todas as condições são: