Obtenha os valores para os coeficientes que satisfaçam a seguinte relação no intervalo :
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Nós temos uma equação onde uma função está sendo representada como uma soma infinita de funções seno no intervalo de a . O conteúdo que vamos usar aqui é a Série de Fourier, mais especificamente a Série de Fourier Seno. Para resolver isso, precisamos encontrar os coeficientes que fazem essa igualdade ser verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos falar um pouco sobre a Série de Fourier Seno. Essa série é usada para representar funções que são definidas em um intervalo específico, como de a , usando apenas funções seno. A vantagem disso é que as funções seno são ortogonais entre si, o que facilita encontrar os coeficientes .
Passo 3
Para encontrar os coeficientes , usamos a propriedade da ortogonalidade das funções seno. A fórmula geral para o coeficiente na Série de Fourier Seno é:
Aqui, é a função que queremos representar, que no nosso caso é .
Passo 4
Agora, vamos calcular o coeficiente substituindo na fórmula:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
⇒
⇒
Aplicando a integração por partes:
Resolvendo, obtemos:
Segunda Integral:
Essa integral é mais simples:
Agora, juntando as duas integrais:
Simplificando:
Resposta
Os coeficientes que satisfazem a relação dada são: