Obtenha os valores para os coeficientes que satisfaçam a seguinte relação no intervalo :

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Nós temos uma equação onde uma função está sendo representada como uma soma infinita de funções seno no intervalo de a . O conteúdo que vamos usar aqui é a Série de Fourier, mais especificamente a Série de Fourier Seno. Para resolver isso, precisamos encontrar os coeficientes que fazem essa igualdade ser verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre a Série de Fourier Seno. Essa série é usada para representar funções que são definidas em um intervalo específico, como de a , usando apenas funções seno. A vantagem disso é que as funções seno são ortogonais entre si, o que facilita encontrar os coeficientes .

Passo 3

Para encontrar os coeficientes , usamos a propriedade da ortogonalidade das funções seno. A fórmula geral para o coeficiente na Série de Fourier Seno é:
Aqui, é a função que queremos representar, que no nosso caso é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente substituindo na fórmula:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira Integral:
    Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
    Aplicando a integração por partes:
    Resolvendo, obtemos:
  2. Segunda Integral:
    Essa integral é mais simples:
Agora, juntando as duas integrais:
Simplificando:

Resposta

Os coeficientes que satisfazem a relação dada são:

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Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
Resposta:
Encontre as transformadas inversas de Laplace das funções:

Resposta:
Obtenha os valores para os coeficientes que satisfaçam a seguinte relação no intervalo :
Suponha que uma mola tenha uma massa e constante de mola e seja . Suponha uma constante de amortecimento tão pequena que a força de amortecimento seja desprezível. Se uma força externa for aplicada, em que , use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que o movimento da massa será descrito pela equação: