Obtenha os valores para os coeficientes cn que satisfaçam a seguinte relação no intervalo 0 <= x <= L :
x+1=sumn=1^infty Cn sin (n pi xL)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Nós temos uma equação onde uma função está sendo representada como uma soma infinita de funções seno no intervalo de a . O conteúdo que vamos usar aqui é a Série de Fourier, mais especificamente a Série de Fourier Seno. Para resolver isso, precisamos encontrar os coeficientes que fazem essa igualdade ser verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre a Série de Fourier Seno. Essa série é usada para representar funções que são definidas em um intervalo específico, como de a , usando apenas funções seno. A vantagem disso é que as funções seno são ortogonais entre si, o que facilita encontrar os coeficientes .

Passo 3

Para encontrar os coeficientes Cn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx , usamos a propriedade da ortogonalidade das funções seno. A fórmula geral para o coeficiente na Série de Fourier Seno é:
Aqui, é a função que queremos representar, que no nosso caso é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente Cn = 2L integral0^L (x + 1) sin(npi xL) dx substituindo Cn = 2L ( integral0^L x sin(npi xL) dx + integral0^L sin(npi xL) dx ) na fórmula:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira Integral:
    integral0^L x sin(npi xL) dx
    Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
    • -Lnpi x cos(npi xL) g|0^L + Lnpi integral0^L cos(npi xL) dx -Lnpi cdot L cdot cos(npi) + Lnpi cdot Lnpi sin(npi) - 0 = -L^2npi (-1)^n
    • integral0^L sin(npi xL) dx -Lnpi cos(npi xL) g|0^L = -Lnpi [cos(npi) - 1] = -Lnpi [(-1)^n - 1]
    Aplicando a integração por partes:
    Cn = 2L ( -L^2npi (-1)^n - Lnpi [(-1)^n - 1] ) = 2Lnpi ( (-1)^n+1 + 1 - (-1)^nL )
    Resolvendo, obtemos:
    Cn = 2Lnpi (-1)^n+1
  2. Segunda Integral:
    Essa integral é mais simples:
Agora, juntando as duas integrais:
Simplificando:

Resposta

Os coeficientes Cn = 2Lnpi (-1)^n+1 que satisfazem a relação dada são:

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