Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
x'' + 4x' + 3x = 1, x(0) = 0, x'(0) = 0 Resposta: x(t) = 1/6 (2 - 3 e^(-t) + e^(-3 t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando as transformadas de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Pra resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas expressões, usar propriedades das derivadas e resolver para , que é a transformada de .

Passo 2

Primeiro, aplique a transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Usando a linearidade, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das transformadas das derivadas:
Como e , simplificamos:

Passo 4

Substituindo de volta na equação transformada:
Fatorando :
Então, isolamos :

Passo 5

Vamos decompor em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a expressão fica:
Podemos escrever como:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
E simplificamos:

Resposta

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