Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.: Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando as transformadas de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Pra resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas expressões, usar propriedades das derivadas e resolver para , que é a transformada de .
Passo 2
Primeiro, aplique a transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Usando a linearidade, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das transformadas das derivadas:
Como e , simplificamos:
Passo 4
Substituindo de volta na equação transformada:
Fatorando :
Então, isolamos :
Passo 5
Vamos decompor em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a expressão fica:
Podemos escrever como:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace: