Obtenha os valores das constantes reais a e b para que se tenha a/x-2+bx/x+2=-x2+3x+2/x2-4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores das constantes reais $ a $ e $ b $ que tornam a seguinte igualdade verdadeira:
a
Aqui, estamos lidando com frações algébricas e precisamos manipular essas frações para descobrir os valores de $ a $ e $ b $.

Passo 2

Vamos observar o denominador do lado direito da igualdade, $ x^2 - 4 $. Esse denominador pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
x^2 - 4
Isso é útil porque agora sabemos que todos os denominadores em questão podem ser escritos como $ (x - 2)(x + 2) $.

Passo 3

Com os denominadores iguais, podemos reescrever as frações do lado esquerdo para que todas tenham o denominador comum $ (x - 2)(x + 2) $. Vamos fazer isso:
(x - 2)(x + 2)
ax - 2 = a(x + 2)(x - 2)(x + 2)
Agora, somando essas duas frações:
b xx + 2 = b x (x - 2)(x - 2)(x + 2)

Passo 4

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
a(x + 2) + b x (x - 2) = -x^2 + 3x + 2
Agora, vamos expandir e simplificar o lado esquerdo da equação.

Passo 5

Expandindo os termos:
a(x + 2) = a x + 2a
b x (x - 2) = b x^2 - 2b x
Somando esses resultados:
a x + 2a + b x^2 - 2b x = -x^2 + 3x + 2

Passo 6

Vamos reorganizar os termos para facilitar a comparação:
b x^2 + (a - 2b) x + 2a = -x^2 + 3x + 2
Agora, podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 7

Igualando os coeficientes:
  1. Para $ x^2 $:
x^2
  1. Para $ x $:
b = -1
  1. Para o termo constante:
x

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações encontrado:
  1. De $ 2a = 2 $:
2a = 2
  1. Substituindo $ a = 1 $ na segunda equação:
a = 1
a = 1
1 - 2b = 3

Resposta

Os valores das constantes são $ a = 1 $ e $ b = -1 $.

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