Obtenha os valores das constantes reais a e b para que se tenha a/x-2+bx/x+2=-x2+3x+2/x2-4.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores das constantes reais $ a $ e $ b $ que tornam a seguinte igualdade verdadeira:
Aqui, estamos lidando com frações algébricas e precisamos manipular essas frações para descobrir os valores de $ a $ e $ b $.
Passo 2
Vamos observar o denominador do lado direito da igualdade, $ x^2 - 4 $. Esse denominador pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
Isso é útil porque agora sabemos que todos os denominadores em questão podem ser escritos como $ (x - 2)(x + 2) $.
Passo 3
Com os denominadores iguais, podemos reescrever as frações do lado esquerdo para que todas tenham o denominador comum $ (x - 2)(x + 2) $. Vamos fazer isso:
Agora, somando essas duas frações:
Passo 4
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado esquerdo da equação.
Passo 5
Expandindo os termos:
Somando esses resultados:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos para facilitar a comparação:
Agora, podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.
Passo 7
Igualando os coeficientes:
- Para $ x^2 $:
- Para $ x $:
- Para o termo constante:
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações encontrado:
- De $ 2a = 2 $:
- Substituindo $ a = 1 $ na segunda equação:
Resposta
Os valores das constantes são $ a = 1 $ e $ b = -1 $.