Obter usando um polinômio interpolador de Newton de grau 3 (4 pontos). Considere a seguinte tabela:
30 0.5
35 0.574
45 0.707
50 0.766
55 0.819

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de usando um polinômio interpolador de Newton de grau 3. Isso faz parte do conteúdo de interpolação polinomial, que é uma técnica pra estimar valores entre pontos conhecidos em uma tabela. Vamos precisar das fórmulas de diferenças divididas de Newton e usar os quatro pontos mais próximos de para montar nosso polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os quatro pontos mais próximos de na tabela. Olhando os valores de :
Os pontos mais próximos de 40 são 30, 35, 45 e 50.

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. A ideia é calcular as diferenças entre os valores de para construir o polinômio.
Primeiro, listamos os pontos escolhidos:

Passo 4

Calculamos as primeiras diferenças divididas:

Passo 5

Agora, calculamos as segundas diferenças divididas:

Passo 6

Finalmente, calculamos a terceira diferença dividida:

Passo 7

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos montar o polinômio de Newton:
Substituindo os valores:
Como a terceira diferença dividida é zero, o polinômio simplifica um pouco.

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

O valor de é aproximadamente 0.643.

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