Sejam W1=(x, y, z) in R^3 mid x+y-z=0 e W2=(x, y, z) in R^3 mid x=y subespaços de R^3.
(a) Encontre uma base e a dimensão de W1 cap W2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma base e a dimensão da interseção dos subespaços e em . Aqui, é definido por e por . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações lineares, subespaços vetoriais, e o conceito de base e dimensão de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa x + y - z = 0 x - y = 0 . Isso representa todos os vetores que pertencem simultaneamente a e a . Em outras palavras, queremos encontrar todas as soluções para o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as condições que os vetores devem satisfazer para pertencerem a ambos os subespaços.
Primeira equação:
Segunda equação: =>

Passo 4

Como x + x - z = 0 2x - z = 0 z = 2x , podemos substituir por na primeira equação:

Passo 5

Agora, expressamos os vetores em (x, y, z) = (x, x, 2x) = x cdot (1, 1, 2) em termos de . Sabemos que e , então qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito como:

Passo 6

Isso significa que todos os vetores em são múltiplos do vetor . Portanto, a base de é composta apenas por esse vetor.

Resposta

A base de é e a dimensão desse subespaço é 1.

Exercícios relacionados