Sejam
e
subespaços de
.
(a) Encontre uma base e a dimensão de
.
(a) Encontre uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma base e a dimensão da interseção dos subespaços
e
em
. Aqui,
é definido por
e
por
. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações lineares, subespaços vetoriais, e o conceito de base e dimensão de um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa todos os vetores que pertencem simultaneamente a
e a
. Em outras palavras, queremos encontrar todas as soluções para o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as condições que os vetores devem satisfazer para pertencerem a ambos os subespaços.
Primeira equação:
Segunda equação: =>
Segunda equação:
Passo 4
Como
, podemos substituir
por
na primeira equação:
Passo 5
Agora, expressamos os vetores em
em termos de
. Sabemos que
e
, então qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito como:
Passo 6
Isso significa que todos os vetores em
são múltiplos do vetor
. Portanto, a base de
é composta apenas por esse vetor.
Resposta
A base de
é
e a dimensão desse subespaço é 1.