Obter uma base para que contenha os vetores:
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o espaço tridimensional, , que inclua os vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e a construção de bases. Precisamos garantir que os vetores que escolhermos sejam lineares e que eles juntos gerem todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Olhando para eles, vemos que não há um número que multiplicado por , então eles são independentes.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um terceiro vetor que, junto com esses dois, forme uma base para . Para isso, vamos escolher um vetor que não seja uma combinação linear dos vetores que já temos. Vamos tentar o vetor .

Passo 4

Vamos verificar a independência dos três vetores: , e . Montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Então, uma base para que contém os vetores e é:

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Seja um conjunto L.I. em . Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
© .
Sejam e subespaços de . Mostre que .
Verificar se os seguintes conjuntos são bases do . Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto:
Para cada uma das seguintes matrizes, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.