Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o espaço tridimensional, , que inclua os vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e a construção de bases. Precisamos garantir que os vetores que escolhermos sejam lineares e que eles juntos gerem todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Olhando para eles, vemos que não há um número que multiplicado por dê , então eles são independentes.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um terceiro vetor que, junto com esses dois, forme uma base para . Para isso, vamos escolher um vetor que não seja uma combinação linear dos vetores que já temos. Vamos tentar o vetor .
Passo 4
Vamos verificar a independência dos três vetores: , e . Montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.