Verificar se os seguintes conjuntos são bases do R^3. Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto:
S=(-1,1,0),(0,1,-2),(-2,3,1),(1,2,-2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o conjunto é uma base de . Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra linear, como linearidade, independência linear, e espaço vetorial. Se não for uma base, teremos que encontrar o subespaço que ele gera, uma base para esse subespaço e a sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de precisa satisfazer duas condições: os vetores devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço . Como tem dimensão 3, precisamos exatamente de 3 vetores independentes para formar uma base.

Passo 3

Nosso conjunto tem 4 vetores, o que já indica que pode haver dependência linear entre eles (já que precisamos de no máximo 3 vetores para uma base em ). Para verificar isso, vamos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular o determinante ou reduzir a matriz para verificar se as colunas são independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz A = -1 & 0 & -2 & 1 1 & 1 & 3 & 2 0 & -2 & 1 & -2 com os vetores de :
Agora, vamos verificar o posto dessa matriz usando eliminação de Gauss para ver quantas colunas são independentes.

Passo 5

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. Deixamos o primeiro elemento da primeira coluna como pivô:
-1 & 0 & -2 & 1 1 & 1 & 3 & 2 0 & -2 & 1 & -2
  1. Eliminamos o primeiro elemento da segunda linha:
R2 = R2 + R1 Rightarrow -1 & 0 & -2 & 1 0 & 1 & 1 & 3 0 & -2 & 1 & -2
  1. Eliminamos o primeiro elemento da terceira linha (já é zero).
  2. Agora, usamos o pivô da segunda coluna para eliminar abaixo:
R3 = R3 + 2R2 Rightarrow -1 & 0 & -2 & 1 0 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 3 & 4
Essa matriz está em forma escalonada e todos os pivôs são não nulos, o que indica que os 3 primeiros vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos 3 vetores independentes, podemos selecionar como uma base para o subespaço gerado por . A dimensão desse subespaço é 3, que é a quantidade de vetores na base.

Resposta

O conjunto não é uma base de . O subespaço gerado por é com base e dimensão 3.

Exercícios relacionados