Verificar se os seguintes conjuntos são bases do . Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o conjunto é uma base de . Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra linear, como linearidade, independência linear, e espaço vetorial. Se não for uma base, teremos que encontrar o subespaço que ele gera, uma base para esse subespaço e a sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de precisa satisfazer duas condições: os vetores devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço . Como tem dimensão 3, precisamos exatamente de 3 vetores independentes para formar uma base.
Passo 3
Nosso conjunto tem 4 vetores, o que já indica que pode haver dependência linear entre eles (já que precisamos de no máximo 3 vetores para uma base em ). Para verificar isso, vamos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular o determinante ou reduzir a matriz para verificar se as colunas são independentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores de :
Agora, vamos verificar o posto dessa matriz usando eliminação de Gauss para ver quantas colunas são independentes.
Passo 5
Aplicando a eliminação de Gauss:
Deixamos o primeiro elemento da primeira coluna como pivô:
Essa matriz está em forma escalonada e todos os pivôs são não nulos, o que indica que os 3 primeiros vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como temos 3 vetores independentes, podemos selecionar como uma base para o subespaço gerado por . A dimensão desse subespaço é 3, que é a quantidade de vetores na base.
Resposta
O conjunto não é uma base de . O subespaço gerado por é com base e dimensão 3.