Obter a derivada de cada função f dada abaixo:
f) f(x) = x * e^x + cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função dada:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender como uma função muda em relação à sua variável (neste caso, ). Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do produto e as derivadas de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas. Ou seja, se temos uma função , então:
Aplicando isso à nossa função:
A derivada será:

Passo 3

Agora, vamos derivar o primeiro termo: . Aqui, temos um produto de duas funções ( e ), então precisamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que:
Onde e .
Primeiro, derivamos e :
  • então
  • então (a derivada da função exponencial é ela mesma)
Aplicando a regra:
Podemos fatorar :

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo: . A derivada de é:

Passo 5

Por fim, juntamos as derivadas dos dois termos para encontrar a derivada completa da função :

Resposta

A derivada da função é:

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