Obter a derivada de ordem
das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a derivada de ordem
da função
quando
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente derivadas de ordem elevada. Pra resolver isso, vamos precisar entender como derivadas repetidas funcionam para funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como derivar cada parte da função separadamente. A função
é bem direta: a derivada de
em qualquer ordem continua sendo
. Já a parte do
é um pouco mais interessante porque suas derivadas repetidas seguem um padrão cíclico.
Passo 3
Vamos olhar as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Viu? Depois de cada quatro derivadas, voltamos ao
original. Isso significa que a cada múltiplo de 4, a derivada de
retorna para
.
Passo 4
Agora, como queremos a 1000ª derivada, vamos ver onde ela se encaixa nesse ciclo de 4. Para isso, dividimos 1000 por 4:
Isso quer dizer que
é múltiplo de 4, então a derivada de
será novamente
.
Passo 5
Juntando tudo, a derivada de ordem 1000 da função
é:
Resposta
A derivada de ordem 1000 de
é
.
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Resolva as seguintes devivadas usando a regra da cadeia:
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