Obter a derivada de ordem das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a derivada de ordem da função quando . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente derivadas de ordem elevada. Pra resolver isso, vamos precisar entender como derivadas repetidas funcionam para funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver como derivar cada parte da função separadamente. A função é bem direta: a derivada de em qualquer ordem continua sendo . Já a parte do é um pouco mais interessante porque suas derivadas repetidas seguem um padrão cíclico.

Passo 3

Vamos olhar as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
  3. Terceira derivada:
  4. Quarta derivada:
Viu? Depois de cada quatro derivadas, voltamos ao original. Isso significa que a cada múltiplo de 4, a derivada de retorna para .

Passo 4

Agora, como queremos a 1000ª derivada, vamos ver onde ela se encaixa nesse ciclo de 4. Para isso, dividimos 1000 por 4:
Isso quer dizer que é múltiplo de 4, então a derivada de será novamente .

Passo 5

Juntando tudo, a derivada de ordem 1000 da função é:

Resposta

A derivada de ordem 1000 de é .

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Resolva as seguintes devivadas usando a regra da cadeia:
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