Resolva o seguinte problema de valor inicial no intervalo de t=0 a 2 usando o tamanho de passo h=0,5 em que y(0)=1, usando o método de RK de quarta ordem.
d yd t=y t^3-1,5 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4). A equação que vamos resolver é:
dydt = y t^3 - 1,5 y
Temos a condição inicial y(0) = 1 e vamos calcular o valor de y de t = 0 até t = 2 com um passo de h = 0,5. Ou seja, vamos encontrar y nos pontos t = 0, 0,5, 1, 1,5 e 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Runge-Kutta de quarta ordem. É uma técnica usada para aproximar soluções de equações diferenciais ordinárias. Ao contrário do método de Euler, que usa apenas uma inclinação, o RK4 calcula quatro inclinações diferentes ( k1, k2, k3, k4) em cada passo para ter uma estimativa mais precisa.
A fórmula geral do RK4 é:
yn+1 = yn + h6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
Onde:
k1 = f(tn, yn)
k2 = f(tn + h2, yn + h2k1)
k3 = f(tn + h2, yn + h2k2)
k4 = f(tn + h, yn + h k3)
Aqui, f(t, y) é a função da equação diferencial, que no nosso caso é y t^3 - 1,5 y.

Passo 3

Vamos começar com t0 = 0 e y0 = 1.
Primeiro passo ( t = 0 para t = 0,5):
Calculamos as inclinações:
k1 = f(0, 1) = 1 cdot 0^3 - 1,5 cdot 1 = 0 - 1,5 = -1,5
k2 = f(0 + 0,52, 1 + 0,52 cdot (-1,5)) = f(0,25, 1 - 0,375) = f(0,25, 0,625)
f(0,25, 0,625) = 0,625 cdot (0,25)^3 - 1,5 cdot 0,625 = 0,625 cdot 0,015625 - 0,9375 = 0,009765625 - 0,9375 = -0,927734375
k2 = -0,927734375
k3 = f(0 + 0,52, 1 + 0,52 cdot (-0,927734375)) = f(0,25, 1 - 0,231933594) = f(0,25, 0,768066406)
f(0,25, 0,768066406) = 0,768066406 cdot 0,015625 - 1,5 cdot 0,768066406 = 0,012000000 - 1,152099609 = -1,140099609
k3 = -1,140099609
k4 = f(0 + 0,5, 1 + 0,5 cdot (-1,140099609)) = f(0,5, 1 - 0,570049805) = f(0,5, 0,429950195)
f(0,5, 0,429950195) = 0,429950195 cdot 0,5^3 - 1,5 cdot 0,429950195 = 0,429950195 cdot 0,125 - 0,644925293 = 0,053743774 - 0,644925293 = -0,591181519
k4 = -0,591181519
Agora, aplicamos a fórmula do RK4:
y1 = 1 + 0,56(-1,5 + 2 cdot (-0,927734375) + 2 cdot (-1,140099609) + (-0,591181519))
Calculando:
y1 = 1 + 0,56(-1,5 -1,85546875 -2,280199218 + -0,591181519) = 1 + 0,56(-6,226849487)
y1 = 1 - 0,5 cdot 6,2268494876 = 1 - 0,5 cdot 1,037808248 = 1 - 0,518904124 = 0,481095876
Arredondando, y1 approx 0,4811.

Passo 4

Segundo passo ( t = 0,5 para t = 1):
Agora, t1 = 0,5 e y1 approx 0,4811.
Calculamos as inclinações:
k1 = f(0,5, 0,4811) = 0,4811 cdot 0,5^3 - 1,5 cdot 0,4811 = 0,4811 cdot 0,125 - 0,72165 = 0,0601375 - 0,72165 = -0,6615125
k2 = f(0,5 + 0,52, 0,4811 + 0,52 cdot (-0,6615125)) = f(0,75, 0,4811 - 0,165378125) = f(0,75, 0,315721875)
f(0,75, 0,315721875) = 0,315721875 cdot 0,75^3 - 1,5 cdot 0,315721875
0,75^3 = 0,421875
f(0,75, 0,315721875) = 0,315721875 cdot 0,421875 - 0,4735828125 = 0,133083984 - 0,4735828125 = -0,3404988285
k2 = -0,3404988285
k3 = f(0,75, 0,4811 + 0,52 cdot (-0,3404988285)) = f(0,75, 0,4811 - 0,0851247071) = f(0,75, 0,3959752929)
f(0,75, 0,3959752929) = 0,3959752929 cdot 0,421875 - 1,5 cdot 0,3959752929 = 0,167022705 - 0,5939629394 = -0,4269402344
k3 = -0,4269402344
k4 = f(0,5 + 0,5, 0,4811 + 0,5 cdot (-0,4269402344)) = f(1, 0,4811 - 0,2134701172) = f(1, 0,2676298828)
f(1, 0,2676298828) = 0,2676298828 cdot 1^3 - 1,5 cdot 0,2676298828 = 0,2676298828 - 0,4014448242 = -0,1338149414
k4 = -0,1338149414
Aplicando a fórmula do RK4:
y2 = 0,4811 + 0,56(-0,6615125 + 2 cdot (-0,3404988285) + 2 cdot (-0,4269402344) + (-0,1338149414))
Calculando:
y2 = 0,4811 + 0,56(-0,6615125 -0,680997657 -0,853880469 -0,1338149414) = 0,4811 + 0,56(-2,329205567)
y2 = 0,4811 - 0,5 cdot 2,3292055676 = 0,4811 - 0,194100464 = 0,2870
Arredondando, y2 approx 0,2870.

Passo 5

Terceiro passo ( t = 1 para t = 1,5):
Agora, t2 = 1 e y2 approx 0,2870.
Calculamos as inclinações:
k1 = f(1, 0,2870) = 0,2870 cdot 1^3 - 1,5 cdot 0,2870 = 0,2870 - 0,4305 = -0,1435
k2 = f(1 + 0,52, 0,2870 + 0,52 cdot (-0,1435)) = f(1,25, 0,2870 - 0,035875) = f(1,25, 0,251125)
f(1,25, 0,251125) = 0,251125 cdot 1,25^3 - 1,5 cdot 0,251125
1,25^3 = 1,953125
f(1,25, 0,251125) = 0,251125 cdot 1,953125 - 0,3766875 = 0,490776367 - 0,3766875 = 0,114088867
k2 = 0,114088867
k3 = f(1,25, 0,2870 + 0,52 cdot 0,114088867) = f(1,25, 0,2870 + 0,028522217) = f(1,25, 0,315522217)
f(1,25, 0,315522217) = 0,315522217 cdot 1,25^3 - 1,5 cdot 0,315522217
f(1,25, 0,315522217) = 0,315522217 cdot 1,953125 - 0,4732833255 = 0,616943359 - 0,4732833255 = 0,1436600335
k3 = 0,1436600335
k4 = f(1 + 0,5, 0,2870 + 0,5 cdot 0,1436600335) = f(1,5, 0,2870 + 0,0718300168) = f(1,5, 0,3588300168)
f(1,5, 0,3588300168) = 0,3588300168 cdot 1,5^3 - 1,5 cdot 0,3588300168
1,5^3 = 3,375
f(1,5, 0,3588300168) = 0,3588300168 cdot 3,375 - 0,5382450252 = 1,210762558 - 0,5382450252 = 0,672517533
k4 = 0,672517533
Aplicando a fórmula do RK4:
y3 = 0,2870 + 0,56(-0,1435 + 2 cdot 0,114088867 + 2 cdot 0,1436600335 + 0,672517533)
Calculando:
y3 = 0,2870 + 0,56(-0,1435 +0,228177734 +0,287320067 +0,672517533) = 0,2870 + 0,56(0,044514334)
y3 = 0,2870 + 0,5 cdot 0,0445143346 = 0,2870 + 0,0037136145 = 0,2907
Arredondando, y3 approx 0,2907.

Passo 6

Quarto passo ( t = 1,5 para t = 2):
Agora, t3 = 1,5 e y3 approx 0,2907.
Calculamos as inclinações:
k1 = f(1,5, 0,2907) = 0,2907 cdot 1,5^3 - 1,5 cdot 0,2907 = 0,2907 cdot 3,375 - 0,43605 = 0,9802125 - 0,43605 = 0,5441625
k2 = f(1,5 + 0,52, 0,2907 + 0,52 cdot 0,5441625) = f(1,75, 0,2907 + 0,136040625) = f(1,75, 0,426740625)
f(1,75, 0,426740625) = 0,426740625 cdot 1,75^3 - 1,5 cdot 0,426740625
1,75^3 = 5,359375
f(1,75, 0,426740625) = 0,426740625 cdot 5,359375 - 0,640110938 = 2,291671875 - 0,640110938 = 1,651560938
k2 = 1,651560938
k3 = f(1,75, 0,2907 + 0,52 cdot 1,651560938) = f(1,75, 0,2907 + 0,4128902347) = f(1,75, 0,7035902347)
f(1,75, 0,7035902347) = 0,7035902347 cdot 1,75^3 - 1,5 cdot 0,7035902347
f(1,75, 0,7035902347) = 0,7035902347 cdot 5,359375 - 1,055385351 = 3,776738281 - 1,055385351 = 2,72135293
k3 = 2,72135293
k4 = f(1,5 + 0,5, 0,2907 + 0,5 cdot 2,72135293) = f(2, 0,2907 + 1,360676465) = f(2, 1,651376465)
f(2, 1,651376465) = 1,651376465 cdot 2^3 - 1,5 cdot 1,651376465 = 1,651376465 cdot 8 - 2,477064698 = 13,21097172 - 2,477064698 = 10,73390702
k4 = 10,73390702
Aplicando a fórmula do RK4:
y4 = 0,2907 + 0,56(0,5441625 + 2 cdot 1,651560938 + 2 cdot 2,72135293 + 10,73390702)
Calculando:
y4 = 0,2907 + 0,56(0,5441625 +3,303121876 +5,44270586 +10,73390702) = 0,2907 + 0,56(19,02389624)
y4 = 0,2907 + 0,5 cdot 19,023896246 = 0,2907 + 1,5853247 = 1,8760
Arredondando, y4 approx 1,8760.

Resposta

Após aplicar o método de Runge-Kutta de quarta ordem com passo h = 0,5, obtemos os valores aproximados de y nos pontos t = 0, 0,5, 1, 1,5 e 2. O valor final em t = 2 é:
y(2) approx 1,8760

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