Resolva o seguinte problema de valor inicial no intervalo de
a 2 usando o tamanho de passo
que
, usando o método de RK de quarta ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4). A equação que vamos resolver é:
Temos a condição inicial
e vamos calcular o valor de
de
até
com um passo de
. Ou seja, vamos encontrar
nos pontos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Runge-Kutta de quarta ordem. É uma técnica usada para aproximar soluções de equações diferenciais ordinárias. Ao contrário do método de Euler, que usa apenas uma inclinação, o RK4 calcula quatro inclinações diferentes (
,
,
,
) em cada passo para ter uma estimativa mais precisa.
A fórmula geral do RK4 é:
Onde:
Aqui,
é a função da equação diferencial, que no nosso caso é
.
Passo 3
Vamos começar com
e
.
Primeiro passo (
para
):
Calculamos as inclinações:
Agora, aplicamos a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando,
.
Passo 4
Segundo passo (
para
):
Agora,
e
.
Calculamos as inclinações:
Aplicando a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando,
.
Passo 5
Terceiro passo (
para
):
Agora,
e
.
Calculamos as inclinações:
Aplicando a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando,
.
Passo 6
Quarto passo (
para
):
Agora,
e
.
Calculamos as inclinações:
Aplicando a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando,
.
Resposta
Após aplicar o método de Runge-Kutta de quarta ordem com passo
, obtemos os valores aproximados de
nos pontos
e
. O valor final em
é: