Resolva o seguinte problema de valor inicial no intervalo de
a 2 usando o tamanho de passo
que
, usando o método de RK de quarta ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4). A equação que vamos resolver é:
Temos a condição inicial
e vamos calcular o valor de
de
até
com um passo de
. Ou seja, vamos encontrar
nos pontos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Runge-Kutta de quarta ordem. É uma técnica usada para aproximar soluções de equações diferenciais ordinárias. Ao contrário do método de Euler, que usa apenas uma inclinação, o RK4 calcula quatro inclinações diferentes (
,
,
,
) em cada passo para ter uma estimativa mais precisa.
A fórmula geral do RK4 é:
Onde:
Aqui,
é a função da equação diferencial, que no nosso caso é
.
Passo 3
Vamos começar com
e
.
Primeiro passo (
para
):
Calculamos as inclinações:
Agora, aplicamos a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando,
.
Passo 4
Segundo passo (
para
):
Agora,
e
.
Calculamos as inclinações:
Aplicando a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando,
.
Passo 5
Terceiro passo (
para
):
Agora,
e
.
Calculamos as inclinações:
Aplicando a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando,
.
Passo 6
Quarto passo (
para
):
Agora,
e
.
Calculamos as inclinações:
Aplicando a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando,
.
Resposta
Após aplicar o método de Runge-Kutta de quarta ordem com passo
, obtemos os valores aproximados de
nos pontos
e
. O valor final em
é:
Exercícios relacionados
Obter a integral:
com
e utilizando a) regra dos trapézios; b) regra de Simpson; c) compara com o resultado obtido analiticamente.
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 52 | 5 | -5 | -40 | 10 |
a) Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
.
b) Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
b) Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 52 | 5 | -5 | -40 | 10 |
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
.
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 52 | 5 | -5 | -40 | 10 |
Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
.