Resolva o seguinte problema de valor inicial no intervalo de a 2 usando o tamanho de passo que , usando o método de RK de quarta ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4). A equação que vamos resolver é:
Temos a condição inicial e vamos calcular o valor de de até com um passo de . Ou seja, vamos encontrar nos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Runge-Kutta de quarta ordem. É uma técnica usada para aproximar soluções de equações diferenciais ordinárias. Ao contrário do método de Euler, que usa apenas uma inclinação, o RK4 calcula quatro inclinações diferentes ( , , , ) em cada passo para ter uma estimativa mais precisa.
A fórmula geral do RK4 é:
Onde:
Aqui, é a função da equação diferencial, que no nosso caso é .

Passo 3

Vamos começar com e .
Primeiro passo ( para ):
Calculamos as inclinações:
Agora, aplicamos a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando, .

Passo 4

Segundo passo ( para ):
Agora, e .
Calculamos as inclinações:
Aplicando a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando, .

Passo 5

Terceiro passo ( para ):
Agora, e .
Calculamos as inclinações:
Aplicando a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando, .

Passo 6

Quarto passo ( para ):
Agora, e .
Calculamos as inclinações:
Aplicando a fórmula do RK4:
Calculando:
Arredondando, .

Resposta

Após aplicar o método de Runge-Kutta de quarta ordem com passo , obtemos os valores aproximados de nos pontos e . O valor final em é:

Exercícios relacionados

Obter a integral:
com e utilizando a) regra dos trapézios; b) regra de Simpson; c) compara com o resultado obtido analiticamente.
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
a) Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
b) Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .