A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 52 | 5 | -5 | -40 | 10 |
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de Lagrange de quarta ordem que passe pelos cinco pontos dados. Isso faz parte do conteúdo de Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos usar a fórmula do polinômio de Lagrange e depois substituir x = 3 para achar o valor interpolado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio de Lagrange. É uma ferramenta que permite encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos. A fórmula geral para um polinômio de Lagrange de grau
(onde
é o número de pontos) é:
Onde cada
é o polinômio base de Lagrange definido por:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada
para os nossos cinco pontos: (1, 52), (2, 5), (4, -5), (5, -40) e (7, 10).
Para
:
Faço o mesmo para
,
,
e
.
Passo 4
Com os
calculados, a gente multiplica cada um pelo respectivo valor de
:
Isso vai dar o polinômio completo que passa pelos cinco pontos.
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo para formar o polinômio final. Pode ser um pouco trabalhoso, mas seguimos passo a passo:
Simplificando os coeficientes e as frações, a gente chega ao polinômio final.
Passo 6
Finalmente, para achar o valor interpolado em
, substituímos na equação do polinômio:
Calculando cada termo, somamos tudo e obtemos o valor interpolado.
Resposta
O valor interpolado em
é aproximadamente 7.