A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de Lagrange de quarta ordem que passe pelos cinco pontos dados. Isso faz parte do conteúdo de Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos usar a fórmula do polinômio de Lagrange e depois substituir x = 3 para achar o valor interpolado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio de Lagrange. É uma ferramenta que permite encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos. A fórmula geral para um polinômio de Lagrange de grau (onde é o número de pontos) é:
Onde cada é o polinômio base de Lagrange definido por:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada para os nossos cinco pontos: (1, 52), (2, 5), (4, -5), (5, -40) e (7, 10).
Para :
Faço o mesmo para , , e .

Passo 4

Com os calculados, a gente multiplica cada um pelo respectivo valor de :
Isso vai dar o polinômio completo que passa pelos cinco pontos.

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo para formar o polinômio final. Pode ser um pouco trabalhoso, mas seguimos passo a passo:
Simplificando os coeficientes e as frações, a gente chega ao polinômio final.

Passo 6

Finalmente, para achar o valor interpolado em , substituímos na equação do polinômio:
Calculando cada termo, somamos tudo e obtemos o valor interpolado.

Resposta

O valor interpolado em é aproximadamente 7.

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com e utilizando a) regra dos trapézios; b) regra de Simpson; c) compara com o resultado obtido analiticamente.
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
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Obter a integral:
com e utilizando a regra de Simpson