A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado em x=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de Lagrange de quarta ordem que passe pelos cinco pontos dados. Isso faz parte do conteúdo de Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos usar a fórmula do polinômio de Lagrange e depois substituir x = 3 para achar o valor interpolado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio de Lagrange. É uma ferramenta que permite encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos. A fórmula geral para um polinômio de Lagrange de grau P(x) = sumi=0^n-1 yi cdot Li(x) (onde Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n-1 x - xjxi - xj é o número de pontos) é:
Onde cada é o polinômio base de Lagrange definido por:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada L0(x) = (x-2)(x-4)(x-5)(x-7)(1-2)(1-4)(1-5)(1-7) = (x-2)(x-4)(x-5)(x-7)(-1)(-3)(-4)(-6) = (x-2)(x-4)(x-5)(x-7)72 para os nossos cinco pontos: (1, 52), (2, 5), (4, -5), (5, -40) e (7, 10).
Para :
Faço o mesmo para , , e .

Passo 4

Com os P(x) = 52 cdot L0(x) + 5 cdot L1(x) + (-5) cdot L2(x) + (-40) cdot L3(x) + 10 cdot L4(x) calculados, a gente multiplica cada um pelo respectivo valor de :
Isso vai dar o polinômio completo que passa pelos cinco pontos.

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo para formar o polinômio final. Pode ser um pouco trabalhoso, mas seguimos passo a passo:
P(x) = 52 cdot (x-2)(x-4)(x-5)(x-7)72 + 5 cdot (x-1)(x-4)(x-5)(x-7)6 + (-5) cdot (x-1)(x-2)(x-5)(x-7)-24 + (-40) cdot (x-1)(x-2)(x-4)(x-7)12 + 10 cdot (x-1)(x-2)(x-4)(x-5)-72
Simplificando os coeficientes e as frações, a gente chega ao polinômio final.

Passo 6

Finalmente, para achar o valor interpolado em P(3) = 52 cdot L0(3) + 5 cdot L1(3) + (-5) cdot L2(3) + (-40) cdot L3(3) + 10 cdot L4(3) , substituímos na equação do polinômio:
Calculando cada termo, somamos tudo e obtemos o valor interpolado.

Resposta

O valor interpolado em é aproximadamente 7.

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