Obter uma parametrização da curva a seguir. Curva dada por x=y, z=x^2+y^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede: precisamos encontrar uma parametrização para a curva definida pelas equações e . Isso envolve conceitos de parametrização de curvas no espaço tridimensional, onde expressamos as coordenadas , e em função de um parâmetro comum.

Passo 2

Para parametrizar a curva, escolhemos um parâmetro, geralmente representado por . Esse parâmetro vai nos ajudar a expressar todas as coordenadas da curva de forma organizada.

Passo 3

Observando a primeira equação x = t e y = t , podemos definir ambas as coordenadas e em termos de . Vamos escolher:
Isso simplifica a relação entre e , já que elas são iguais.

Passo 4

Agora, substituímos z = t^2 + t^2 = 2t^2 e na segunda equação :
Assim, expressamos também em termos de .

Resposta

A parametrização da curva é dada por:
r(t) = x(t) = t y(t) = t z(t) = 2t^2
onde é um número real.

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