Obter uma parametrização da curva a seguir. Curva dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que parametrizar uma curva que é definida pelas equações
e
. Isso significa que a curva está no plano onde
sempre vale 3. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para reorganizar a equação e encontrar uma maneira de expressar
e
em função de um parâmetro, tipo um ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação
. Queremos deixar ela mais simples, então vamos completar o quadrado para o termo que envolve
. Isso nos ajuda a identificar que tipo de curva estamos lidando.
Passo 3
Vamos reorganizar os termos de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
Multiplicando por 2 de volta:
Passo 4
Substituímos isso na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos dividir toda a equação por 10 para deixar na forma padrão:
Isso é a equação de uma elipse centrada em
no plano
, com semi-eixos de comprimento
e
.
Passo 6
Para parametrizar essa elipse, usamos um parâmetro
que varia de 0 a
. Assim, podemos escrever:
E lembrando que
sempre.
Resposta
A parametrização da curva é: