Obter uma parametrização da curva a seguir. Curva dada por 2 x^2+z^2+4 x-8=0, y=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que parametrizar uma curva que é definida pelas equações e . Isso significa que a curva está no plano onde sempre vale 3. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para reorganizar a equação e encontrar uma maneira de expressar e em função de um parâmetro, tipo um ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação . Queremos deixar ela mais simples, então vamos completar o quadrado para o termo que envolve . Isso nos ajuda a identificar que tipo de curva estamos lidando.

Passo 3

Vamos reorganizar os termos de 2x^2 + 4x = 2(x^2 + 2x) :
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
2(x^2 + 2x) = 2(x + 1)^2 - 2
Multiplicando por 2 de volta:

Passo 4

Substituímos isso na equação original:
2(x + 1)^2 - 2 + z^2 - 8 = 0
Simplificando:
2(x + 1)^2 + z^2 = 10

Passo 5

Agora, vamos dividir toda a equação por 10 para deixar na forma padrão:
(x + 1)^25 + z^210 = 1
Isso é a equação de uma elipse centrada em no plano , com semi-eixos de comprimento e .

Passo 6

Para parametrizar essa elipse, usamos um parâmetro x + 1 = raiz5 cos theta Rightarrow x = -1 + raiz5 cos theta que varia de 0 a z = raiz10 sin theta . Assim, podemos escrever:
E lembrando que sempre.

Resposta

A parametrização da curva é:
x = -1 + raiz5 cos theta y = 3 z = raiz10 sin theta para todo theta in [0, 2pi)

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