Obter uma parametrização da curva a seguir. Curva dada por 3 x^2+2 y^2-4 x+6 y=3, z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma parametrização para a curva definida por e . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para identificar a forma da curva e então encontrar uma maneira de expressar e em termos de um parâmetro, geralmente representado por .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação 3x^2 - 4x = 3(x^2 - 43x). Nosso objetivo é completar os quadrados para 3(x^2 - 43x + 49 - 49) = 3((x - 23)^2 - 49) = 3(x - 23)^2 - 43 e 2y^2 + 6y = 2(y^2 + 3y), o que nos ajudará a identificar a forma geométrica da curva.
Para 2(y^2 + 3y + 94 - 94) = 2((y + 32)^2 - 94) = 2(y + 32)^2 - 92:
Completa o quadrado adicionando e subtraindo :
Para :
Completa o quadrado adicionando e subtraindo :

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões de volta na equação original:
3(x - 23)^2 - 43 + 2(y + 32)^2 - 92 = 3
Vamos somar os termos constantes:
-43 - 92 = -86 - 276 = -356
Então:
3(x - 23)^2 + 2(y + 32)^2 = 3 + 356 = 536

Passo 4

Vamos dividir toda a equação por 3(x - 23)^2536 + 2(y + 32)^2536 = 1 para deixá-la na forma padrão de uma elipse:
(x - 23)^25318 + (y + 32)^25312 = 1
Simplificando:

Passo 5

Agora, identificamos que essa é a equação de uma elipse centrada em x(t) = h + a cos(t) com semi-eixos y(t) = k + b sin(t) e . Sabendo disso, podemos parametrizar a elipse usando um parâmetro , que geralmente representa o ângulo no círculo unitário.
As parametrizações gerais para uma elipse são:
onde é o centro da elipse, e são os semi-eixos, e varia de a .

Passo 6

Aplicando esses valores à nossa elipse:
x(t) = 23 + raiz5318 cos(t)
y(t) = -32 + raiz5312 sin(t)
E lembrando que z(t) = 2 para toda a curva, temos:

Resposta

A parametrização da curva é:
x(t) = dfrac23 + raizdfrac5318, cos(t) y(t) = -dfrac32 + raizdfrac5312, sin(t) z(t) = 2 para t in [0, 2pi]

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