Obter uma parametrização da curva a seguir. Curva dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma parametrização para a curva definida por
e
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para identificar a forma da curva e então encontrar uma maneira de expressar
e
em termos de um parâmetro, geralmente representado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação
. Nosso objetivo é completar os quadrados para
e
, o que nos ajudará a identificar a forma geométrica da curva.
Para
:
Completa o quadrado adicionando e subtraindo
:
Para
:
Completa o quadrado adicionando e subtraindo
:
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões de volta na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então:
Passo 4
Vamos dividir toda a equação por
para deixá-la na forma padrão de uma elipse:
Simplificando:
Passo 5
Agora, identificamos que essa é a equação de uma elipse centrada em
com semi-eixos
e
. Sabendo disso, podemos parametrizar a elipse usando um parâmetro
, que geralmente representa o ângulo no círculo unitário.
As parametrizações gerais para uma elipse são:
onde
é o centro da elipse,
e
são os semi-eixos, e
varia de
a
.
Passo 6
Aplicando esses valores à nossa elipse:
E lembrando que
para toda a curva, temos:
Resposta
A parametrização da curva é: