Obter o ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A(3,-1,4) e B(1,-2,-3).

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício pra resolver onde precisa encontrar um ponto no eixo das abscissas (ou seja, no eixo ) que esteja equidistante dos pontos e . Vamos usar a matéria de geometria espacial, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, como está no eixo das abscissas, suas coordenadas são . A gente quer que a distância de até seja igual à distância de até .

Passo 3

Vamos escrever a fórmula da distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e , a distância entre eles é:
Vamos aplicar isso para as distâncias e .

Passo 4

Calculando PA = raiz(x - 3)^2 + (0 - (-1))^2 + (0 - 4)^2 = raiz(x - 3)^2 + 1 + 16 :
PA = raiz(x - 3)^2 + 17
Simplificando:

Passo 5

Calculando PB = raiz(x - 1)^2 + (0 - (-2))^2 + (0 - (-3))^2 = raiz(x - 1)^2 + 4 + 9 :
PB = raiz(x - 1)^2 + 13
Simplificando:

Passo 6

Como queremos que raiz(x - 3)^2 + 17 = raiz(x - 1)^2 + 13 , igualamos as duas expressões:
(x - 3)^2 + 17 = (x - 1)^2 + 13
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 7

Agora, vamos expandir os quadrados:
x^2 - 6x + 9 + 17 = x^2 - 2x + 1 + 13
Simplificando:
x^2 - 6x + 26 = x^2 - 2x + 14

Passo 8

Vamos subtrair -6x + 26 = -2x + 14 de ambos os lados para eliminar:
-6x + 2x = 14 - 26
Agora, vamos juntar os termos com -4x = -12 de um lado e os números do outro:

Passo 9

Dividindo ambos os lados por x = -12-4 = 3 para encontrar :

Resposta

O ponto procurado é .

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