Em todas as questões abaixo, desenhe o sólido de rotação e faça o que foi pedido.
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pela reta
.
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região específica em torno do eixo
. A região é limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
(que é
) e pela reta
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou cilindros, para calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a região que está sendo rotacionada. Vamos analisar as funções que delimitam essa região:
- A função
. - A reta
. - O eixo
, que é .
Vamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração. Igualando
, temos:
Resolvendo essa equação, encontramos as soluções para
que delimitam a região.
Passo 3
Resolvendo a equação
, podemos tentar fatorar:
Então, as raízes são
(duplo), e
. Como estamos considerando
(devido ao eixo
), a interseção relevante é em
.
Passo 4
Agora que sabemos que a região é de
a
, podemos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula para o volume usando discos, quando rotacionando em torno do eixo
, é:
Aqui,
, e os limites de integração são
e
.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.