Em todas as questões abaixo, desenhe o sólido de rotação e faça o que foi pedido.
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 3x - x^3, pelo eixo y e pela reta y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região específica em torno do eixo y. A região é limitada pelo gráfico de , pelo eixo y (que é x = 0) e pela reta . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou cilindros, para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a região que está sendo rotacionada. Vamos analisar as funções que delimitam essa região:
  • A função .
  • A reta .
  • O eixo y, que é x = 0.
Vamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração. Igualando , temos:
Resolvendo essa equação, encontramos as soluções para x que delimitam a região.

Passo 3

Resolvendo a equação , podemos tentar fatorar:
Então, as raízes são x = 1 (duplo), e . Como estamos considerando x >= 0 (devido ao eixo y), a interseção relevante é em x = 1.

Passo 4

Agora que sabemos que a região é de x = 0 a x = 1, podemos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula para o volume usando discos, quando rotacionando em torno do eixo y, é:
Aqui, , e os limites de integração são e .

Passo 5

Vamos calcular a integral:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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