Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação polinomial pra resolver:
O que precisamos fazer é encontrar os valores de que satisfazem essa equação, ou seja, as raízes dessa equação. Para isso, vamos usar alguns métodos de resolução de equações polinomiais e aplicar técnicas numéricas, garantindo que o erro nas soluções seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação igualada a zero para facilitar o trabalho:
Isso nos dá uma equação do quarto grau ( ), e resolver equações de grau mais alto pode ser complicado, por isso vamos usar métodos numéricos.

Passo 3

Vamos tentar reorganizar os termos para uma forma mais familiar:
Agora, queremos encontrar os valores de que tornam essa expressão igual a zero.

Passo 4

Como a equação é de quarto grau e não é facilmente fatorável, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes. O Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos aproxima das raízes da equação a partir de uma estimativa inicial.
A fórmula do método é:
Onde:
  • é a derivada de , que é

Passo 5

Vamos estimar inicialmente um valor de . Para isso, podemos fazer alguns testes rápidos:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Vemos que entre e a função muda de negativa para positiva, então há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos usar como nossa estimativa inicial.

Passo 6

Aplicando o método de Newton-Raphson com :
Primeiro, calculamos :
Calculando isso:
Agora, calculamos :
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 7

Agora, repetimos o processo com :
Calculamos :
E :
Aplicando novamente a fórmula:
Como a mudança é menor que , paramos aqui.

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação: