Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação polinomial pra resolver:
O que precisamos fazer é encontrar os valores de
que satisfazem essa equação, ou seja, as raízes dessa equação. Para isso, vamos usar alguns métodos de resolução de equações polinomiais e aplicar técnicas numéricas, garantindo que o erro nas soluções seja menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação igualada a zero para facilitar o trabalho:
Isso nos dá uma equação do quarto grau (
), e resolver equações de grau mais alto pode ser complicado, por isso vamos usar métodos numéricos.
Passo 3
Vamos tentar reorganizar os termos para uma forma mais familiar:
Agora, queremos encontrar os valores de
que tornam essa expressão igual a zero.
Passo 4
Como a equação é de quarto grau e não é facilmente fatorável, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes. O Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos aproxima das raízes da equação a partir de uma estimativa inicial.
A fórmula do método é:
Onde:
-
-
é a derivada de , que é
Passo 5
Vamos estimar inicialmente um valor de
. Para isso, podemos fazer alguns testes rápidos:
-
Se
: -
Se
: -
Se
:
Vemos que entre
e
a função muda de negativa para positiva, então há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos usar
como nossa estimativa inicial.
Passo 6
Aplicando o método de Newton-Raphson com
:
Primeiro, calculamos
:
Calculando isso:
Agora, calculamos
:
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 7
Agora, repetimos o processo com
:
Calculamos
:
E
:
Aplicando novamente a fórmula:
Como a mudança é menor que
, paramos aqui.
Resposta
A raiz da equação
com erro menor que
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação: