Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^4+x^2=2 x^3+(1 / 30)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação polinomial pra resolver:
x^4 + x^2 = 2x^3 + 130
O que precisamos fazer é encontrar os valores de que satisfazem essa equação, ou seja, as raízes dessa equação. Para isso, vamos usar alguns métodos de resolução de equações polinomiais e aplicar técnicas numéricas, garantindo que o erro nas soluções seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação igualada a zero para facilitar o trabalho:
x^4 + x^2 - 2x^3 - 130 = 0
Isso nos dá uma equação do quarto grau ( ), e resolver equações de grau mais alto pode ser complicado, por isso vamos usar métodos numéricos.

Passo 3

Vamos tentar reorganizar os termos para uma forma mais familiar:
x^4 - 2x^3 + x^2 - 130 = 0
Agora, queremos encontrar os valores de que tornam essa expressão igual a zero.

Passo 4

Como a equação é de quarto grau e não é facilmente fatorável, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes. O Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos aproxima das raízes da equação a partir de uma estimativa inicial.
A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • é a derivada de , que é

Passo 5

Vamos estimar inicialmente um valor de f(0) = 0 - 0 + 0 - 130 = -130 < 0 . Para isso, podemos fazer alguns testes rápidos:
  • Se f(1) = 1 - 2 + 1 - 130 = -130 < 0 :
    f(2) = 16 - 16 + 4 - 130 = 4 - 130 > 0
  • Se :
  • Se :
Vemos que entre e a função muda de negativa para positiva, então há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos usar como nossa estimativa inicial.

Passo 6

Aplicando o método de Newton-Raphson com f(1.5) = (1.5)^4 - 2(1.5)^3 + (1.5)^2 - 130 :
Primeiro, calculamos f(1.5) = 5.0625 - 6.75 + 2.25 - 0.0333 approx 0.5292 :
f'(1.5) = 4(1.5)^3 - 6(1.5)^2 + 2(1.5) = 13.5 - 13.5 + 3 = 3
Calculando isso:
x1 = 1.5 - 0.52923 approx 1.5 - 0.1764 = 1.3236
Agora, calculamos :
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 7

Agora, repetimos o processo com f(1.3236) = (1.3236)^4 - 2(1.3236)^3 + (1.3236)^2 - 130 approx 0.0001 :
Calculamos f'(1.3236) = 4(1.3236)^3 - 6(1.3236)^2 + 2(1.3236) approx 1.694 :
x2 = 1.3236 - 0.00011.694 approx 1.3236
E :
Aplicando novamente a fórmula:
Como a mudança é menor que , paramos aqui.

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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