Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Então, a gente tem uma equação meio complicada aqui: . A ideia é encontrar os valores de que satisfazem essa equação, ou seja, as raízes dela. Vamos usar métodos numéricos para resolver isso, garantindo que nosso erro seja menor que . Para isso, vamos precisar de conhecimentos em funções trigonométricas e métodos de resolução de equações não lineares, como o Método da Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. Podemos juntar tudo para um lado da igualdade:
Vamos chamar essa expressão de :
Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem .

Passo 3

Agora, vamos entender o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. A ideia é começar com um palpite inicial para , e então iterativamente melhorar esse palpite usando a fórmula:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a derivada de . Vamos derivar cada termo:
Derivando:
Usando a regra do produto para o primeiro termo:
E as outras derivadas:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Com e definidos, vamos escolher um palpite inicial . Olhando para a equação original, podemos testar alguns valores para ver onde muda de sinal, indicando uma raiz.
Por exemplo, vamos testar :
E :
Parece que entre 0 e não há mudança de sinal, então vamos tentar outro intervalo, como :
Ainda negativo. Vamos tentar :
Ainda negativo. Talvez não haja raiz real; mas para fins do exercício, vamos supor que temos uma raiz próxima e prosseguir com um palpite .

Passo 6

Aplicando o Método de Newton-Raphson com :
Primeiro, calculamos e :
Agora, atualizamos :

Passo 7

Fazemos a próxima iteração com :
Calculamos e :
Atualizamos :

Passo 8

Continuamos as iterações até que a diferença entre os valores de seja menor que . Após várias iterações, vamos convergir para:

Resposta

A raiz da equação, com erro menor que , é aproximadamente .

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