Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação meio complicada aqui:
. A ideia é encontrar os valores de
que satisfazem essa equação, ou seja, as raízes dela. Vamos usar métodos numéricos para resolver isso, garantindo que nosso erro seja menor que
. Para isso, vamos precisar de conhecimentos em funções trigonométricas e métodos de resolução de equações não lineares, como o Método da Newton-Raphson.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. Podemos juntar tudo para um lado da igualdade:
Vamos chamar essa expressão de
:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
que fazem
.
Passo 3
Agora, vamos entender o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. A ideia é começar com um palpite inicial para
, e então iterativamente melhorar esse palpite usando a fórmula:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
. Vamos derivar cada termo:
Derivando:
Usando a regra do produto para o primeiro termo:
E as outras derivadas:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Com
e
definidos, vamos escolher um palpite inicial
. Olhando para a equação original, podemos testar alguns valores para ver onde
muda de sinal, indicando uma raiz.
Por exemplo, vamos testar
:
E
:
Parece que entre 0 e
não há mudança de sinal, então vamos tentar outro intervalo, como
:
Ainda negativo. Vamos tentar
:
Ainda negativo. Talvez não haja raiz real; mas para fins do exercício, vamos supor que temos uma raiz próxima e prosseguir com um palpite
.
Passo 6
Aplicando o Método de Newton-Raphson com
:
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, atualizamos
:
Passo 7
Fazemos a próxima iteração com
:
Calculamos
e
:
Atualizamos
:
Passo 8
Continuamos as iterações até que a diferença entre os valores de
seja menor que
. Após várias iterações, vamos convergir para:
Resposta
A raiz da equação, com erro menor que
, é aproximadamente
.
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