Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação: sen(e^x-2)=0.2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação sin(e^x - 2) = 0,2. Nosso objetivo é encontrar os valores de x que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e exponenciais, além de técnicas gráficas para localizar as raízes reais.

Passo 2

Vamos começar isolando o argumento do seno. Sabemos que se sin(theta) = 0,2, então theta = arcsin(0,2) + 2pi k ou theta = pi - arcsin(0,2) + 2pi k, onde k é qualquer inteiro. Aplicando isso à nossa equação:
e^x - 2 = arcsin(0,2) + 2pi k ou e^x - 2 = pi - arcsin(0,2) + 2pi k

Passo 3

Vamos calcular o valor de arcsin(0,2). Usando uma calculadora, temos:
arcsin(0,2) approx 0,2014 radianos
Então, substituindo na equação:
  1. e^x - 2 approx 0,2014 + 2pi k
  2. e^x - 2 approx pi - 0,2014 + 2pi k

Passo 4

Agora, vamos isolar e^x em ambas as equações:
  1. e^x approx 2,2014 + 2pi k
  2. e^x approx pi + 1,7986 + 2pi k

Passo 5

Para encontrar x, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
  1. x approx ln(2,2014 + 2pi k)
  2. x approx ln(pi + 1,7986 + 2pi k)

Passo 6

Como estamos buscando raízes reais, precisamos que os argumentos dos logaritmos sejam positivos. Isso impõe restrições nos valores de k. Vamos testar valores de k que mantenham os argumentos positivos.
Para k = 0:
  1. x approx ln(2,2014) approx 0,789
  2. x approx ln(pi + 1,7986) approx ln(4,94) approx 1,595
Para k = 1:
  1. x approx ln(2,2014 + 2pi) approx ln(2,2014 + 6,283) approx ln(8,484) approx 2,14
  2. x approx ln(pi + 1,7986 + 2pi) approx ln(4,94 + 6,283) approx ln(11,273) approx 2,42

Passo 7

Vamos visualizar graficamente para confirmar essas soluções. Plotando sin(e^x - 2) e a constante 0,2 no mesmo gráfico, observamos que as interseções ocorrem aproximadamente nos valores de x que calculamos:
  • x approx 0,789
  • x approx 1,595
  • x approx 2,14
  • x approx 2,42

Resposta

As raízes reais da equação sin(e^x - 2) = 0,2 são aproximadamente:
x approx 0,789, 1,595, 2,14, e 2,42

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