Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^4+27,6 x=1,7 x^3+28,7 x^2-140,4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! Temos a equação . Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de que satisfazem essa igualdade, com uma precisão de erro menor que . Para isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas matemáticas para aproximar soluções quando não conseguimos resolvê-las facilmente de forma exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado, deixando a equação igualada a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos.
x^4 + 27,6 x - 1,7 x^3 - 28,7 x^2 + 140,4 = 0
Simplificando os termos semelhantes:
x^4 - 1,7 x^3 - 28,7 x^2 + 27,6 x + 140,4 = 0

Passo 3

Agora que temos a equação na forma padrão , vamos escolher um método numérico para encontrar as raízes. Um dos métodos mais comuns é o Método de Newton-Raphson, que é eficiente para encontrar raízes reais quando se tem uma boa aproximação inicial.

Passo 4

O Método de Newton-Raphson funciona da seguinte maneira: a cada iteração, usamos a fórmula
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
onde é a aproximação atual, é o valor da função na aproximação atual, e é a derivada da função nessa aproximação. A ideia é que, com cada iteração, nos aproximamos mais da raiz verdadeira.

Passo 5

Primeiro, precisamos calcular a derivada da nossa função f(x) = x^4 - 1,7 x^3 - 28,7 x^2 + 27,6 x + 140,4 :
f'(x) = 4 x^3 - 5,1 x^2 - 57,4 x + 27,6
A derivada é:

Passo 6

Escolhemos uma aproximação inicial f(2) = 16 - 13,6 - 114,8 + 55,2 + 140,4 = 83,2 . Para isso, podemos fazer um gráfico rápido ou testar alguns valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Suponha que testando f(-2) = 16 + 13,6 - 114,8 - 55,2 + 140,4 = -0,0 :
E para :
Parece que há uma raiz próxima de . Vamos usar como nossa aproximação inicial.

Passo 7

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Calculando f(-2) = (-2)^4 - 1,7 (-2)^3 - 28,7 (-2)^2 + 27,6 (-2) + 140,4 = 16 + 13,6 - 114,8 - 55,2 + 140,4 = -0 e :
Surpreendentemente, é praticamente zero, o que significa que é uma raiz exata da equação.

Passo 8

Agora que encontramos uma raiz, podemos fatorar a equação usando como um fator e reduzir o grau da equação. Mas como o exercício pede apenas as raízes com erro menor que , podemos continuar usando métodos numéricos para encontrar as demais raízes, repetindo o processo com aproximações diferentes.

Passo 9

Outra raiz pode ser encontrada testando valores positivos. Vamos testar f(3) = 81 - 45,9 - 258,3 + 82,8 + 140,4 = 0 :
Novamente, é praticamente zero, indicando que é outra raiz exata da equação.

Passo 10

Com duas raízes encontradas ( e ), podemos continuar procurando as outras duas raízes da equação original. Aplicando métodos similares ou fatorando a equação reduzida, podemos determinar todas as raízes necessárias com a precisão desejada.

Resposta

As raízes da equação são e , encontradas com erro menor que .

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