Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! Temos a equação
. Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de
que satisfazem essa igualdade, com uma precisão de erro menor que
. Para isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas matemáticas para aproximar soluções quando não conseguimos resolvê-las facilmente de forma exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado, deixando a equação igualada a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos.
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora que temos a equação na forma padrão
, vamos escolher um método numérico para encontrar as raízes. Um dos métodos mais comuns é o Método de Newton-Raphson, que é eficiente para encontrar raízes reais quando se tem uma boa aproximação inicial.
Passo 4
O Método de Newton-Raphson funciona da seguinte maneira: a cada iteração, usamos a fórmula
onde
é a aproximação atual,
é o valor da função na aproximação atual, e
é a derivada da função nessa aproximação. A ideia é que, com cada iteração, nos aproximamos mais da raiz verdadeira.
Passo 5
Primeiro, precisamos calcular a derivada da nossa função
:
A derivada
é:
Passo 6
Escolhemos uma aproximação inicial
. Para isso, podemos fazer um gráfico rápido ou testar alguns valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Suponha que testando
:
E para
:
Parece que há uma raiz próxima de
. Vamos usar
como nossa aproximação inicial.
Passo 7
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando
e
:
Surpreendentemente,
é praticamente zero, o que significa que
é uma raiz exata da equação.
Passo 8
Agora que encontramos uma raiz, podemos fatorar a equação usando
como um fator e reduzir o grau da equação. Mas como o exercício pede apenas as raízes com erro menor que
, podemos continuar usando métodos numéricos para encontrar as demais raízes, repetindo o processo com aproximações diferentes.
Passo 9
Outra raiz pode ser encontrada testando valores positivos. Vamos testar
:
Novamente,
é praticamente zero, indicando que
é outra raiz exata da equação.
Passo 10
Com duas raízes encontradas (
e
), podemos continuar procurando as outras duas raízes da equação original. Aplicando métodos similares ou fatorando a equação reduzida, podemos determinar todas as raízes necessárias com a precisão desejada.
Resposta
As raízes da equação
são
e
, encontradas com erro menor que
.
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